2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 10:41 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Известно, что при некотором вещественном $x$ выполняется $289|x^2-3x-19$
Может ли $x$ быть

а) рациональным числом?

б) целым числом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 10:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Перебор. Может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 11:02 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ewert в сообщении #563329 писал(а):
Перебор. Может.

Тогда назовите попытайтесь назвать хотя бы одно целое число, удовлетворяющее условию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 11:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
6

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
По-моему это трёхчлен должен делиться нацело на 289?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 11:34 


26/08/11
2110
gris в сообщении #563341 писал(а):
По-моему это трёхчлен должен делиться нацело на 289?
По моему тоже. Вряд ли задача сводится к решениу уравнений $x^2-3x-19=\pm 1,\pm 17,\pm 289$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 11:37 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ewert в сообщении #563340 писал(а):
6

$6^2-3\cdot 6-19=36-18-19=-1$
-1 не делится на 289 (вернее, делится, но не нацело).

-- 24.04.2012, 10:38 --

gris в сообщении #563341 писал(а):
По-моему это трёхчлен должен делиться нацело на 289?

Разве $a|b$ имеет другие значения?

-- 24.04.2012, 10:38 --

Shadow в сообщении #563344 писал(а):
gris в сообщении #563341 писал(а):
По-моему это трёхчлен должен делиться нацело на 289?
По моему тоже. Вряд ли задача сводится к решениу уравнений $x^2-3x-19=\pm 1,\pm 17,\pm 289$

Не сводится, но она несложная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Ktina, если это могло кому-то показаться, то это так оно и есть.
Тогда надо проверить, может ли $D=9+19\cdot 4-4\cdot289\cdot k$ быть а) полным квадратом б) полным нечётным квадратом при некотором целом $k$.
Но чётным оно быть не может, так что если $x$ рациональное, то оно целое (или целый? кстати...)
Предлагаю компромисс, чтобы голову не ломать. Решаем задачу $291|x^2-3x-19$ и находим сразу несколько целых решений, например, 76. Далось Вам это 289.

+++ На самом деле задача симпатишная, только число 289 сильно намекает. Зайцы первые 20 квадратов хорошо знают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 12:36 


26/08/11
2110
Мда....уравнение $85+34^2k=t^2$ не имеет решений, т.к левая часть делится на 17 и не делится на $17^2$. И замена $t=\frac p q$ мало что меняет....

-- 24.04.2012, 12:47 --

это я про замену глупость написал

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 12:56 
Заблокирован


16/06/09

1547
Shadow в сообщении #563370 писал(а):
это я про замену глупость написал
Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 14:07 


26/08/11
2110
Потому что если к целое, $85+34^2k$ не может быть нецелым

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 15:08 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris в сообщении #563353 писал(а):
Ktina, если это могло кому-то показаться, то это так оно и есть.
Тогда надо проверить, может ли $D=9+19\cdot 4-4\cdot289\cdot k$ быть а) полным квадратом б) полным нечётным квадратом при некотором целом $k$.
Но чётным оно быть не может, так что если $x$ рациональное, то оно целое (или целый? кстати...)
Предлагаю компромисс, чтобы голову не ломать. Решаем задачу $291|x^2-3x-19$ и находим сразу несколько целых решений, например, 76. Далось Вам это 289.

+++ На самом деле задача симпатишная, только число 289 сильно намекает. Зайцы первые 20 квадратов хорошо знают.

(Оффтоп)

+++А если я знаю первые 100, кто я?

Пункт б) решается чересчур легко.
Предположим, что $x$ - целое число. Тогда $289|x^2-3x-19\to x(x-3)\equiv 2 (mod 17)$. Но последнее возможно только тогда, когда $x$ даёт остаток 10 при делении на 17. Но тогда $(17k+10)(17k+7)-19=289k^2+289k+51$. Стало быть, на 289 не делится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495

(Оффтоп)

Коза, конечно. В хорошем смысле :-)

Ну восьмиклассник бы стал решать квадратное уравнение, раз надо икс найти, и уткнулся бы в дискриминант. А там 17 явно вылезает и из 85, и из 289.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный трёхчлен
Сообщение24.04.2012, 20:10 


26/08/11
2110

(Оффтоп)

Что-то недоброе таится в мужчинах, избегающих вина, игр, общества прелестных женщин, застольной беседы. Такие люди или тяжело больны, или втайне ненавидят окружающих.
Воланд

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group