Уравнение теплопроводности с системой начальных условий

[AgentZheka]

Здраствуйте, знатоки! Помогите разобраться: есть тонкий стержень $L=5$, начальные условия которого следующие:
$U(x,0)=\frac{2x^2}5$, при $0<x<\frac52$;
$U(x,0)=5-x$, при $\frac52<x<5$.
Применяю метод Фурье, получаю:

$X_n(x)=C_n \sin(\frac{\pi n}5x), n=1,2,...$;

$T_n(t)=e^{-a^2(\frac{\pi n}5)^2t}$;

Как правильно записать общее решение? Моя логика подсказывает мне 2 варианта:
1) Так как у нас два участка с разными начальными условиями, пишем:
$U(x,t)=\sum_{n=1}^P U_n(x,t)=\sum_{n=1}^P C_n\sin (\frac{\pi n}{2.5}x)e^{-a^2(\frac{\pi n}{2.5})^2t}$ для $0<x<\frac52$;

$F(x,t)=\sum_{n=1}^P U_n(x,t)=\sum_{n=1}^P D_n\sin (\frac{\pi n}{2.5}x)e^{-a^2(\frac{\pi n}{2.5})^2t}$ для $\frac52<x<5$;
Находим коэффициенты $C_n$ и $D_n$ с помощью разложения в ряд фурье, подставляем в общее решение. Получается вот что:


где $U(x,t,p), F(x,t,p)$ - общие решения для двух участков соответсвенно; I1(x), I2(x) - функции начальных условий для участков. Т.е. мы видем что с течением времени происходит логичное остывание. Но: разрыв внутри. Как его убрать? пробуем второй способ

2)$U(x,t)=\sum_{n=1}^P U_n(x,t)=\sum_{n=1}^P C_n\sin (\frac{\pi n}{5}x)e^{-a^2(\frac{\pi n}{5})^2t}$ для $0<x<5$.
Т.е. здесь мы брали один целый участок. Тогда как найти $C_n$ чтобы учитывались оба начальных условий?
В первом способе пробовал суммировать $C_n$ и $D_n$ и подставлять в общее решение, получалось нечто вроде синусоиды.
Буду признателен за помощь! :)

[Taus]

AgentZheka в сообщении #561768 писал(а):

Т.е. здесь мы брали один целый участок. Тогда как найти $C_n$ чтобы учитывались оба начальных уславий?
В первом способе пробовал суммировать $C_n$ и $D_n$ и подставлять в общее решение, получалось нечто вроде синусоиды.

Рассматривать начальное условие, как функцию, заданную на двух отрезках. Отрезок, по которому интегрируем, разобьется на два, на которых и задана функция.

[ewert]

AgentZheka в сообщении #561768 писал(а):

1) Так как у нас два участка с разными начальными условиями, пишем:
$U(x,t)=\sum_{n=1}^P U_n(x,t)=\sum_{n=1}^P C_n\sin (\frac{\pi n}{2.5}x)e^{-a^2(\frac{\pi n}{2.5})^2t}$ для $0<x<\frac52$;

Вы ж зачем-то поставили дополнительное нулевое граничное условие в центре. И потом почему-то удивляетесь графикам.

[AgentZheka]

ewert в сообщении #562618 писал(а):

AgentZheka в сообщении #561768 писал(а):

1) Так как у нас два участка с разными начальными условиями, пишем:
$U(x,t)=\sum\limits_{n=1}^P U_n(x,t)=\sum\limits_{n=1}^P C_n\sin (\frac{\pi n}{2.5}x)e^{-a^2(\frac{\pi n}{2.5})^2t}$ для $0<x<\frac52$;

Вы ж зачем-то поставили дополнительное нулевое граничное условие в центре. И потом почему-то удивляетесь графикам.

Секундочку, о чем вы говорите? Я не ставил никакое граничное условие в центре. Вы процетировали решение для первого участка, ноль там - для левого конца

[AgentZheka]

Taus в сообщении #562614 писал(а):

AgentZheka в сообщении #561768 писал(а):

Т.е. здесь мы брали один целый участок. Тогда как найти $C_n$ чтобы учитывались оба начальных уславий?
В первом способе пробовал суммировать $C_n$ и $D_n$ и подставлять в общее решение, получалось нечто вроде синусоиды.

Рассматривать начальное условие, как функцию, заданную на двух отрезках. Отрезок, по которому интегрируем, разобьется на два, на которых и задана функция.

Как правильно разбить отрезок на два? В первом способе я пытался это сделать: коэффициент $C_n$ и $D_n$ находил отдельно для каждого отрезка. Причем значение длины $L$ в общих решениях я принял 2,5, как заметили, так как рассматриваю только половину. Вот более точная картинка на начальный момент времени:

Нас ведь интерисуют положительные температуры, поэтому рассматриваем часть графика с $Y>0$. Голубым показана та самая синусоида (т.е. сумма, когда коэффициент в общем решении равен $A_n+B_n$).
Никак не уловлю логику. Выручайте, господа знатоки :)

[ewert]

AgentZheka в сообщении #563133 писал(а):

Я не ставил никакое граничное условие в центре.

AgentZheka в сообщении #561768 писал(а):

$U(x,t)=\sum_{n=1}^P U_n(x,t)=\sum_{n=1}^P C_n\sin (\frac{\pi n}{2.5}x)e^{-a^2(\frac{\pi n}{2.5})^2t}$ для $0<x<\frac52$;

$F(x,t)=\sum_{n=1}^P U_n(x,t)=\sum_{n=1}^P D_n\sin (\frac{\pi n}{2.5}x)e^{-a^2(\frac{\pi n}{2.5})^2t}$ для $\frac52<x<5$;

Откуда могли бы взяться синусы с конкретно такими аргументами? Только из-за граничного условия в центре.

[AgentZheka]

Спасибо всем, особенно Evert, который навел меня на решение. Получилось то что я хотел:

Т.е. в синусах поменял 2,5 на 5; коэффициенты суммировал. Еще раз блогадарю! :)