Вероятностная задача.

[Руст]

Пьяный человек идёт вдоль шоссе. На каждом шаге его качает с вероятностью 1/2 в сторону дороги на расстояние 1 дм и с вероятностью 1/2 на a дм от дороги. Он начинает движение с обочины и если он пересечёт хоть на мм дорогу он умирает от аварии. Выразить вероятность того, что он останется жить после n шагов (при больших n ). Случай a=1 здесь рассматривался под другой оболочкой. Интересен как a>1, так и а<1.

[Хорхе]

При $a$ иррациональном тоже? В принципе, для алгебраических, похоже, тоже есть надежда.

[neo66]

А что такое a?

[Mikhail Sokolov]

Если a нецелое, то, по-моему, нет шансов получить ответ в явном виде.
При a не равном 1 есть неплохая оценка для вероятности погибнуть когда-либо, находясь в x дм от дороги (известна из задач о разорении). Она примерно равна p^x, где p - наименьший положительный действительный корень уравнения:
p^{(a+1)} - 2p + 1 = 0.

[Руст]

Mikhail Sokolov писал(а):

Если a нецелое, то, по-моему, нет шансов получить ответ в явном виде.
.

Я говорил при больших n, при a<1 она стремится к нулю как показательная, при a>1 стремится к некоторой константе, естественно зависящей от а. А при а=1 стремится к нулю как $\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$. Для предельного выражения не важно a - рациональное или нет.

[Хорхе]

Тут я почитал статью Бандерьера и Флажоле http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Papers/tcs.ps, получается, что вероятность стремится к нулю не как показательная, а как $C\frac{\gamma^n}{\sqrt{n^3}}$. Хороший он все-таки человек, этот Флажоле, книжку http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/book070211.pdf замечательную написал...

[Руст]

На самом деле предельные значения непрерывны только в иррациональных точках и имеют разрывы во всех рациональных. К сожалению мне не удалось раскрыть ваши ссылки.

[Хорхе]

А можно решение для иррациональных? А то что-то у меня проблемы с этим...

[Руст]

Вначале надо решать для рациональных, где возникают разрывы. При стремлении a к рациональному числу p/q<1 сверху выражение при больших n ведёт себя $\frac{C\gamma ^n}{\sqrt n }$ снизу как $\frac{C\gamma^n }{n^{3/2}}.$
Чтобы уравновесить рациональные и иррациональные точки можно считать, что пьяный человек умирает если вновь попадёт точно в обочину. Тогда всё окажется непрерывной и стремление как по второй формуле.

[Юстас]

Руст, насколько я понимаю, у Вас есть достаточно короткое решение этой задачи? Интересно было бы взглянуть.

[Руст]

Короткого решения нет. Можно решить через рациональные a=m/n, интерпретировав это отклонение с вероятностью 1/2 на m расстояний от дороги и с вероятностью 1/2 на n расстояний в сторону дороги. После указанного уточнения в рациональных точках появляется непрерывный предельный переход.