Решить методом Фурье волновое уравнение на заданном отрезке с граничными условиями
![$V(0,t)=V(l,t)=0$ $V(0,t)=V(l,t)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/1/2813cd2057198f1933e2b3803a60d01482.png)
и заданными начальными условиями
![$$V''_{tt} = 9V''_{xx};\quad
V(x,0)=\left\{\begin{array}{cl} \frac {3x}{40}, & 0 \le x < 4;\\ \frac {3(8-x)}{40}, & 4 \le x \le 8;\end{array}\right.\qquad V'_t(x,0)=0.
$$ $$V''_{tt} = 9V''_{xx};\quad
V(x,0)=\left\{\begin{array}{cl} \frac {3x}{40}, & 0 \le x < 4;\\ \frac {3(8-x)}{40}, & 4 \le x \le 8;\end{array}\right.\qquad V'_t(x,0)=0.
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/5/de5dd7489e575e17ccdfb89f3d9d9ccf82.png)
Подскажите, пожалуйста, как решать
Такой ход решения насколько верен?
![$$ U(x,t)= \sum^{\propto}_{n=1} U_{n} (x,t) = \sum^{\propto}_{n=1} (A_{n} \cos {\frac {n \pi a t}l} + B_{n} \sin {\frac {n \pi a t}l}) \sin {\frac {n \pi x}l}$$ $$ U(x,t)= \sum^{\propto}_{n=1} U_{n} (x,t) = \sum^{\propto}_{n=1} (A_{n} \cos {\frac {n \pi a t}l} + B_{n} \sin {\frac {n \pi a t}l}) \sin {\frac {n \pi x}l}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/c/c0c0617f682f3b4d0eabee0f83e3747082.png)
где
![$$B_{n}=\frac {2}{n \pi a} \int_{0}^{l} \psi(x) \sin {\frac {n \pi x}l} dx$$ $$B_{n}=\frac {2}{n \pi a} \int_{0}^{l} \psi(x) \sin {\frac {n \pi x}l} dx$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/f/e9f0afde04174a7c2bb44daf6ce2b3aa82.png)
Из начального условия
![$\psi(x)=0$ $\psi(x)=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/6/1a6207a51f76b65551de02e5697a148782.png)
, тогда
![$B_{n}=0$ $B_{n}=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/f/f1fe33f5545561e679aa59ca143c1e7282.png)
![$$A_{n}=\frac {2}8 \int_{0}^{4} \frac{3x}{40} \sin {\frac {n \pi x}8} dx + \frac {2}8 \int_{4}^{8} \frac{3(8-x)}{40} \sin {\frac {n \pi x}8} dx$$ $$A_{n}=\frac {2}8 \int_{0}^{4} \frac{3x}{40} \sin {\frac {n \pi x}8} dx + \frac {2}8 \int_{4}^{8} \frac{3(8-x)}{40} \sin {\frac {n \pi x}8} dx$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/d/50d9631728d9036462219f41ec0b773982.png)
i |
alexandra555,
Ваше мудрёное
Код: [math]V''_{tt}[/math] = [math]9V''_{xx}[/math] ; [math]V(x,0)=\begin{cases} \frac {3x}^{40} &\text{ $0 \le x < 4$;}\\ \frac {3(8-x)}^{40} &\text{ $4 \le x \le 8$;}\\\end{cases}[/math] ; [math]V'_{t}[/math](x,0)=0 должно выглядеть хотя бы так:
Код: $$V''_{tt} = 9V''_{xx};\quad V(x,0)=\begin{cases} \frac {3x}{40},\quad 0 \le x < 4;\\ \frac {3(8-x)}{40},\quad4 \le x \le 8;\end{cases}\qquad V'_t(x,0)=0.$$ % \quad --- это длинный пробел (Вместо cases я использовал array). И дроби Вы странно пишете, со значком ^... |