Действие тора на проективном пространстве

[FFFF]

Здравствуйте!
Тор $T^{n+1}$ действует на $\mathbb{C}P^n$ следующим образом:

$$(z_0,z_1,...,z_n) \rightarrow (\theta_0 z_0,\theta_1 z_1,...,\theta_n z_n)$$

Нужно найти орбиты, изотропные подгруппы (стабилизаторы) и $\mathbb{C}P^n / T^{n+1}$ - пространство орбит.

Насколько я понял, действие - это умножение однородных координат на координаты точки тора. У меня получилось, что стабилизатор любой точки - это множество точек на торе с одинаковыми координатами (как строго доказать, что это $T^n$ ?), потому что пропорциональные координаты определяют одну и ту же точку проективного пространства. Орбиты можно найти как факторизацию $T^{n+1}/T^n$. Верно ли, что у всех точек одинаковые стабилизаторы, т.е. действие транзитивное? С пространством орбит совсем непонятно.

(Оффтоп)

Задача, по-моему, очень красивая, но в голове такие вещи совсем не укладываются, может дадите совет, как вы представляете многомерные многообразия?

[apriv]

FFFF в сообщении #563084 писал(а):

Верно ли, что у всех точек одинаковые стабилизаторы, т.е. действие транзитивное?

Нет, неверно. Посмотрите хотя бы на случай $n=1$.

[FFFF]

При $n=1$ получается двумерный тор и сфера Римана (правда, я не знаю, как связать с ней однородные координаты, поэтому действие как-то не представить). Координаты на торе обозначим $\theta_i=e^{2\pi i \varphi_i}$ ($\varphi_i \in [0,1)$), однородные - $z_i=e^{2\pi i \psi_i}$ (с точностью до модуля), тогда

$$Stab_{(z_0,z_1)}=\{(\varphi_0,\varphi_1): (e^{2\pi i( \varphi_0 + \psi_0)},e^{2\pi i (\varphi_1 + \psi_1)})=(e^{2\pi i \psi_0},e^{2\pi i \psi_1})\}$$

Чтобы координаты были комплексно-пропорциональными, нужно, чтобы $\varphi_0=\varphi_1$ - получается, что это условие не зависит от точки. Что не так?

[apriv]

FFFF в сообщении #563171 писал(а):

(с точностью до модуля)

Вот что не так.

[FFFF]

Если выписывать модуль:

$$Stab_{(z_0,z_1)}=\{(\varphi_0,\varphi_1): (r_0 e^{2\pi i( \varphi_0 + \psi_0)},r_1 e^{2\pi i (\varphi_1 + \psi_1)})=(r_0 e^{2\pi i \psi_0},r_1 e^{2\pi i \psi_1})\}$$

Я не могу понять, где он играет роль, если действие тора на нём никак не отражается?

[apriv]

FFFF в сообщении #563194 писал(а):

Я не могу понять, где он играет роль, если действие тора на нём никак не отражается?

Вот теперь, когда выписали действие с модулем, запишите условие «чтобы координаты были комплексно-пропорциональными» правильно.

[FFFF]

Условие комплексной пропорциональности выглядит так:

$$ (r_0 e^{ i( 2\pi \varphi_0 + \psi_0)},r_1 e^{ i (2\pi\varphi_1 + \psi_1) })= ( \rho r_0 e^{i (\psi_0 + \chi)},\rho r_1 e^{ i (\psi_1 + \chi)})$$

Таким образом, получается, что $\rho = 1 \ \chi=2 \pi \varphi_0=2 \pi \varphi_1$

[apriv]

FFFF в сообщении #563205 писал(а):

Условие комплексной пропорциональности выглядит так:

$$ (r_0 e^{ i( 2\pi \varphi_0 + \psi_0)},r_1 e^{ i (2\pi\varphi_1 + \psi_1) })= ( \rho r_0 e^{i (\psi_0 + \chi)},\rho r_1 e^{ i (\psi_1 + \chi)})$$

Таким образом, получается, что $\rho = 1 \ \chi=2 \pi \varphi_0=2 \pi \varphi_1$

Не получается. Для начала, что такое $\rho$?

[FFFF]

Координаты комплексно пропорциональны, значит равны с точностью до умножения на комплексное число $\xi=\rho e^{i \chi}$. То есть в данном случае $\rho$ - это вещественное число, модуль комплексного числа, на которое мы домножаем координаты.

[apriv]

FFFF в сообщении #563205 писал(а):

Условие комплексной пропорциональности выглядит так:

$$ (r_0 e^{ i( 2\pi \varphi_0 + \psi_0)},r_1 e^{ i (2\pi\varphi_1 + \psi_1) })= ( \rho r_0 e^{i (\psi_0 + \chi)},\rho r_1 e^{ i (\psi_1 + \chi)})$$

Таким образом, получается, что $\rho = 1 \ \chi=2 \pi \varphi_0=2 \pi \varphi_1$

Ну так и как же из этого условия следует, например, что $\chi=2\pi\varphi_0$?

[FFFF]

Вот так:

$$ (e^{ i2\pi \varphi_0}r_0 e^{i \psi_0},e^{ i2\pi \varphi_1}r_1 e^{i \psi_1})= ( \rho e^{i \chi} r_0 e^{i \psi_0}, \rho e^{i \chi} r_1 e^{i \psi_1})$$

Дальше приравниваем: отдельно модуль, отдельно фазу:

$$e^{ i2\pi \varphi_j}=\rho e^{i \chi} \Rightarrow \rho=1 \ \chi = 2 \pi \varphi_j$$

[apriv]

FFFF в сообщении #563223 писал(а):

Вот так:

$$ (e^{ i2\pi \varphi_0}r_0 e^{i \psi_0},e^{ i2\pi \varphi_1}r_1 e^{i \psi_1})= ( \rho e^{i \chi} r_0 e^{i \psi_0}, \rho e^{i \chi} r_1 e^{i \psi_1})$$

$$e^{ i2\pi \varphi_j}=\rho e^{i \chi}$$

Что-то ужасно непоправимое произошло при этом переходе.

[FFFF]

Жаль, но я не могу понять, что именно. Спасибо Вам за помощь, я посмотрю завтра свежим взглядом, вдруг, что-нибудь придумается.

[FFFF]

apriv

$$e^{ i 2\pi \varphi_j}r_j e^{i \psi_j}=\rho e^{i \chi} r_j e^{i \psi_j} \Rightarrow e^{ i 2\pi \varphi_j} e^{i \psi_j}e^{-i \psi_j}=\rho e^{i \chi}$$

Расскажите, в чём проблема? Никак мне не понять, как связать $\chi$ с $\psi_j$

[apriv]

FFFF в сообщении #563287 писал(а):

Расскажите, в чём проблема?

Проблема в том, что из $xy=xz$ не следует $y=z$.