Действие тора на проективном пространстве

[FFFF]

apriv
Как так? $xy=xz \Rightarrow x(y-z)=0 \Rightarrow x=0 \vee y=z$ - это если нет делителей нуля, которых нет в комплексных числах.
Я правда пытаюсь понять, к чему Вы клоните, но не понимаю.
Быть может, Вы расскажите подробнее?

-- 24.04.2012, 18:52 --

Видимо да, у всех точек с ненулевыми координатами стабилизаторы одинаковы, а когда одна из координат равна нулю - надо рассмотреть отдельно. Эта история научит меня внимательно относится к частным случаям

[apriv]

FFFF в сообщении #563444 писал(а):

Видимо да, у всех точек с ненулевыми координатами стабилизаторы одинаковы, а когда одна из координат равна нулю - надо рассмотреть отдельно. Эта история научит меня внимательно относится к частным случаям

И не «одна из координат», а «какой-то набор координат» (лишь бы не все сразу). Это дает принципиально разные орбиты (например, имеются неподвижные точки). Но даже если стабилизатор одинаков, получается куча различных орбит: действие сильно нетранзитивное, поскольку есть модуль.

[FFFF]

apriv
Получается так:

$$\forall z \in \mathbb{C}P^n : \forall j \ z_j \neq 0 \ Stab_z=\{(\theta_0,..,\theta_n)\:\theta_0=..=\theta_n\}$$

Если у точки $z$ $k$ координат равны нулю, то соответствующий ей стабилизатор получается фиксированием всех координат на торе, кроме этих $k$, которые могут быть любыми. Конкретно, в случае $n=1$ стабилизатора получается всего два - окружность на торе и весь тор. Теперь нужно понять, как выглядят эти стабилизаторы в общем случае, соображения такие: трёхмерный тор $T^3$ я представляю как обычный, двумерный тор $T^2$, из каждой точки которого растёт по окружности $S^1$. Теперь мы потребуем, чтобы все координаты были равны - на "образующем" торе выделится окружность, плюс, каждой её точке сопоставится некоторая точка на окружности, которая растёт из неё. В итоге, всё равно получится $S^1$. Если теперь потребовать, чтобы одна координата была произвольной (т.е. рассмотрим стабилизатор точки $(z_0,z_1,0)$), то получим как раз двумерный тор $T^2$. Если это так, то можно переходить к орбитам $\mathpzc{O}_z = T^{n+1}/Stab_z$

-- 24.04.2012, 21:48 --

Так, получается, что $\mathrm{Stab}_{(z_0,z_1,..,z_n)}=T^{j+1}$, где $j$ - количество координат, равных нулю ($0 \leq j < n+1$)

-- 24.04.2012, 21:55 --

apriv в сообщении #563501 писал(а):

Но даже если стабилизатор одинаков, получается куча различных орбит: действие сильно нетранзитивное, поскольку есть модуль.

А как это получается, если действие не влияет на модуль? Кроме того, ведь есть канонический изоморфизм $\mathpzc{O}_x \cong G/ \mathrm{Stab}_x \ \forall x $, то есть если стабилизаторы одинаковы, то и орбиты одинаковы

[apriv]

FFFF в сообщении #563507 писал(а):

Кроме того, ведь есть канонический изоморфизм , то есть если стабилизаторы одинаковы, то и орбиты одинаковы

Они одинаковы в том смысле, что они изоморфны как множества с действиями группы, но физически орбит много: точку с однородными координатами $[1:2]$ действием тора никак не перевести в точку с однородными координатами $[1:3]$.

[FFFF]

apriv в сообщении #563539 писал(а):

точку с однородными координатами действием тора никак не перевести в точку с однородными координатами

Это да, конечно. Интересно посмотреть на пространство орбит.

[FFFF]

Так, теперь орбиты.
$\mathpzc{O}_z \cong T^{n+1}/T^{j+1} \cong T^{n-j}$, где $j$ - число нулевых однородных координат точки $z$.
Действие тора не влияет на модуль, но может произвольно изменить фазу координаты, то есть орбита точки $z$ будет состоять из точек, координаты которых "вещественно-пропорциональны" координатам точки $z$

$$\mathpzc{O}_z=\{x \in \mathbb{C}P^n : |x_j|=a |z_j|, \forall j \in \mathbb{N} \ a \in \mathbb{R}\}$$

Таким образом (вот здесь сомнительно), если мы будем факторизовать $\mathbb{C}P^n$ по орбитам, то в одну точку сольются точки, которые отличаются друг от друга только фазами, но различными останутся точки, которые отвечают непропорциональным значениям модулей, то есть пространство орбит $\mathbb{C}P^n/T^{n+1} \cong \mathbb{R}P^n$ - будет вещественным проективным пространством.

[FFFF]

Да, поторопился: модули могут принимать только неотрицательные значения, тогда точки соответствующие одному набору чисел характеризуются $n$ неотрицательными вещественными числами, причём "положительно-пропорциональные" координаты отвечают одной и той же точке. Получается набор лучей, лежащих в положительном полупространстве: $\mathbb{R}^{n+1}_{+}/ \mathbb{R}_{+}$. Каждый такой луч пересекает $n+1$-мерный симплекс $\Sigma=\{(x_0,..,x_n):\sum_{j}x_j=1 \}$ в одной точке, каждый - в своей, поэтому, окончательно $\mathbb{C}P^n/T^{n+1} \cong \Sigma$