Занимательный определитель

[coll3ctor]

У нас имеется матрица $n$-го порядка под названием $A$.
Она такова:

$A = \begin{pmatrix}a+b & \cdots & a \\\vdots & \ddots & \vdots \\a & \cdots & a+b \end{pmatrix}\qquad$

(Оффтоп)

не знал, как красивее её отобразить, думаю точек не очень много

В общем, по главной диагонали у нас $a+b$, а все остальные элементы - $a$.

Требуется:
найти её определитель.

Что у меня есть?
Помню читал книжку, в ней сказали, что у матрицы с $n>3$, определитель можно найти только с помощью разложения. Т.к. порядок $n$, то по формуле разложения, мы получим сущий ужас...
Метод гаусса? Ну не знаю, вот вынесем, для удобства, $a$ как множитель, за пределы матрицы, Получим тоже самое, только на главной диагонали будут $1+\frac{b}{a}$. Думаю, это приводится к треугольному виду и вот он опредитель ? ...
больше идей у меня нет.

Что скажите, господа?

[Nemiroff]

coll3ctor в сообщении #562950 писал(а):

Помню читал книжку, в ней сказали, что у матрицы с $n>3$, определитель можно найти только с помощью разложения. Т.к. порядок $n$, то по формуле разложения, мы получим сущий ужас...

Вряд ли там было именно так написано.
В любом случае, какие вы знаете свойства определителя матрицы?

[Sonic86]

Есть такие определители - циркулянты (и антициркулянты). Они легко считаются. (я видел в Постникове, но там книга не об этом, погуглите).
Ваш определитель - частный случай циркулянта.

[svv]

topic52990.html
$a$ в той теме соответствует Вашему $a+b$,
$b$ в той теме соответствует Вашему $a$.

[Евгений Машеров]

Рассмотрим сперва матрицу A-bI, заполненную одними a.
Очевидно, ранг ея равен 1, то есть у неё только одно ненулевое собственное значение. Оно равно, как легко видеть, na.
Соответственно, у матрицы А будет одно собственное значение (na+b) и n-1, равные b.
Её определитель будет равен $(na+b)b^{n-1}$