Сопряжённый оператор

[Java]

Всем привет помогите разобраться. У меня есть оператор, хочу построить ему сопряжённый. В книжки написано:
$L^*y(x)=y(Lx)$

обьясните пожалуйста суть этой формулы. как я понял наш $L$ действует из $x\to y$ , а $L^*$ из $y^*\to x^*$ так?

[Andy]

Есть такая теорема:
Пусть $V$ - евклидово пространство, $\Phi(V)$ - множество всех линейных преобразований пространства $V$, тогда
$\forall \varphi \in \Phi(V), \exists! \varphi^*\in\Phi(V)$ - сопряженное преобразованию \varphi : $ (\varphi x,y)=(x,\varphi^*y)$.
Док-во:
Пусть $ e $ - произвольный базис $V$, а $\Gamma$ - матрица Грама, $[\varphi]_e$ - матрица линейного преобразования в выбранном базиисе, тогда $(\varphi x,y)=[\varphi x]_e^T\Gamma_e\overline{[y]_e}=[x]_e^T[\varphi]_e^T\Gamma_e\overline{[y]_e}= (x,\varphi^*y) =$ in a similar = $[x]_e^T\Gamma_e\overline{[\varphi^*y]_e}=[x]_e^T\Gamma_e\overline{[\varphi^*]_e}$ $\overline{[y]_e}$ $\Rightarrow [\varphi]_e^T\Gamma_e=\Gamma_e\overline{[\varphi^*]_e}$ и т.к. $\Gamma$ - невырождена, то $\forall x \in V $ $ [\varphi^*]_e = \overline{\Gamma_e^{-1}[\varphi]_e[\Gamma]_e}$. Из доказательства сдледует существование и единственность, а также способ нахождения $[\varphi^*]_e$ в выбранном базисе. Если бази ортонормированный, то $\Gamma=E$ и все совсем просто, т.к. [\varphi^*]_e = \overline{[\varphi]_e}$.

[RIP]

Пусть $L$ - непрерывный линейный оператор, отображающий нормированное пространство $X$ в нормированное пространство $Y$. Тогда оператор $B\colon Y^*\to X^*$, заданный формулой $(Bf)(x)=f(Lx)$ (где $x\in X$, $f\in Y^*$), называется сопряженным к оператору $L$ и обозначается $L^*$ (это тоже непрерывный линейный оператор.)