Есть такая теорема:
Пусть

- евклидово пространство,

- множество всех линейных преобразований пространства

, тогда

- сопряженное преобразованию

:

.
Док-во:
Пусть

- произвольный базис

, а

- матрица Грама,
![$[\varphi]_e$ $[\varphi]_e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/3/023f4404c533f62ef928e1a59931defe82.png)
- матрица линейного преобразования в выбранном базиисе, тогда
![$(\varphi x,y)=[\varphi x]_e^T\Gamma_e\overline{[y]_e}=[x]_e^T[\varphi]_e^T\Gamma_e\overline{[y]_e}= (x,\varphi^*y) =$ in a similar = $[x]_e^T\Gamma_e\overline{[\varphi^*y]_e}=[x]_e^T\Gamma_e\overline{[\varphi^*]_e}$ $\overline{[y]_e}$ $\Rightarrow [\varphi]_e^T\Gamma_e=\Gamma_e\overline{[\varphi^*]_e}$ $(\varphi x,y)=[\varphi x]_e^T\Gamma_e\overline{[y]_e}=[x]_e^T[\varphi]_e^T\Gamma_e\overline{[y]_e}= (x,\varphi^*y) =$ in a similar = $[x]_e^T\Gamma_e\overline{[\varphi^*y]_e}=[x]_e^T\Gamma_e\overline{[\varphi^*]_e}$ $\overline{[y]_e}$ $\Rightarrow [\varphi]_e^T\Gamma_e=\Gamma_e\overline{[\varphi^*]_e}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/3/a43937e23b9d3a8237e0a615a2b5fd0a82.png)
и т.к.

- невырождена, то
![$\forall x \in V $ $ [\varphi^*]_e = \overline{\Gamma_e^{-1}[\varphi]_e[\Gamma]_e}$ $\forall x \in V $ $ [\varphi^*]_e = \overline{\Gamma_e^{-1}[\varphi]_e[\Gamma]_e}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/f/cffeedcfb88d9d3b86a76d3fd024a21d82.png)
. Из доказательства сдледует существование и единственность, а также способ нахождения
![$[\varphi^*]_e$ $[\varphi^*]_e$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/8/fb83f57e59dd6bc3b8d12d50f1269c1a82.png)
в выбранном базисе. Если бази ортонормированный, то

и все совсем просто, т.к.
![[\varphi^*]_e = \overline{[\varphi]_e}$ [\varphi^*]_e = \overline{[\varphi]_e}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/6/eb64d239fba6d0e4446d10380f55b41e82.png)
.