Устойчивость и тип точки покоя для системы

[alex7851]

Вот задача:
$\dot{x}=Ax$
$A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
Исследовать устойчивость и определить тип точки покоя.

Подскажите, пожалуйста, как это сделать: везде рассматривают фазовые плоскости, т.е. системы из двух уравнений с матрицой $2\cdot 2$, двумя собственными значениями и классификация вводится на основании этих значений. У этой матрицы два одинаковых собственных значения и ранг 2, но это же не вносит, по идее, упрощений. Чего от меня тут хотят?

[Nimza]

Устойчивость линейной системы определяется независимо от её размерности. Вы знаете определение? А насчёт типов особых точек в пространстве --- всё сводится к плоскому случаю. Можете посмотреть Арнольда "Обыкновенные дифференциальные уравнения".

[alex7851]

Nimza в сообщении #562441 писал(а):

Устойчивость линейной системы определяется независимо от её размерности.

Я понимаю.

Nimza в сообщении #562441 писал(а):

Вы знаете определение?

Устойчивость по Ляпунову на эпсилон-дельта? Нужно по нему доказывать??

Nimza в сообщении #562441 писал(а):

А насчёт типов особых точек в пространстве --- всё сводится к плоскому случаю.

Получается нужно восстановить вывод тех 7 (или сколько там) случаев на плоскости (когда показывается, что тип точки зависит только от собственных значений матрицы системы) и провести аналогичный для 3-х мерного случая или как?
Скажите конкретней, пожалуйста. Я сделал аналогичное задание для системы двух уравнений, тут туплю.

[ewert]

alex7851 в сообщении #562610 писал(а):

Устойчивость по Ляпунову на эпсилон-дельта? Нужно по нему доказывать??

Нужно просто найти собственные числа.

[alex7851]

ewert писал(а):

Нужно просто найти собственные числа.

$1, 1, 0$
Векторы $(1,0,1), (-1,1,0), (1,-1,1)$

[ewert]

Правильно. Хотя для ответа на вопрос об устойчивости достаточно было найти единичку.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #562613 писал(а):

alex7851 в сообщении #562610 писал(а):

Устойчивость по Ляпунову на эпсилон-дельта? Нужно по нему доказывать??

Нужно просто найти собственные числа.

вообще говоря, этого недостаточно

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #562657 писал(а):

вообще говоря, этого недостаточно

вообще говоря -- нет, но в данном случае -- достаточно. Кроме того, смотря какую устойчивость иметь в виду; если асимптотическую -- то достаточно абсолютно.

[alex7851]

1) Что нам дала единичка?
2) Разве для док-ва асимптотической устойчивости не требуется сначала док-ть устойчивость по Ляпунову?
Да, про точки покоя. Насколько я понимаю, это точки, такие, что $Ax=0$, но в данном случае это плоскость, ибо любой вектор $\begin{pmatrix} t\\ -t\\ t \end{pmatrix}$ подходит.

[ewert]

alex7851 в сообщении #562667 писал(а):

1) Что нам дала единичка?

Вспомните определение устойчивости (любой).

alex7851 в сообщении #562667 писал(а):

2) Разве для док-ва асимптотической устойчивости не требуется сначала док-ть устойчивость по Ляпунову?

Нет. Более того: вообще говоря, проверка устойчивости по Ляпунову -- технически более сложный вопрос.

alex7851 в сообщении #562667 писал(а):

Да, про точки покоя. Насколько я понимаю, это точки, такие, что $Ax=0$, но в данном случае это плоскость

Формально говоря -- да. Но поскольку речь о линейной системе с постоянной матрицей -- скорее всего, имелось в виду тождественно нулевое решение. Впрочем, ответ от этого не зависит.

[alex7851]

ewert
Решение самой системы вроде как $x(t)=(C_{1}h_{1}+C_{2}h_{2}t)e^{t}+C_{3}h_{3}$, где $h_{i}$ - собственные векторы.
Тогда решение будет неустойчиво, т.к. при $t \to \infty $ фазовая траектория не упрется в 0, а уйдет далеко-далеко. Осталось тип точки определить.
Задача сводится к плоскости, ведь если строить фазовый портет в простр-ве собственных векторов, третья координата не будет зависеть от $t$. Для плоскости обе $\lambda=1$. Это дикритический, либо вырожденный узел. Как от $x_{3}$ избавиться и получить матрицу $2\cdot2$ для той плоскости я не знаю, но если внимательно посмотреть на картинки для вырожденного и на решение, то можно догадаться, что вырожденный.
Так?

[ewert]

alex7851 в сообщении #562785 писал(а):

Решение самой системы вроде как $x(t)=(C_{1}h_{1}+C_{2}h_{2}t)e^{t}+C_{3}h_{3}$, где $h_{i}$ - собственные векторы.

Вроде как не совсем. Хотя это и не столь принципиально в том смысле, что никакой устойчивости и впрямь не будет.

[alex7851]

ewert писал(а):

Вроде как не совсем.

Хм, при таком решении неверно $\dot{x}=Ax$, но почему-то верно при $x(t)=(C_{1}h_{1}+C_{2}h_{2})e^{t}+C_{3}h_{3}$.
Но если решение второе, тогда дикритический узел, а не вырожденный.

[ewert]

alex7851 в сообщении #562810 писал(а):

но почему-то верно при $x(t)=(C_{1}h_{1}+C_{2}h_{2})e^{t}+C_{3}h_{3}$.

Скорее всего, согласно теории верно.