Пожалуйста помогите разобраться: частные производные

[Someone]

vitlate писал(а):

будет -1
так???

Так.

В выражение для $D$ входит ещё смешанная производная $\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}$.

[vitlate]

$\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}=1$.
правильно?

[Someone]

vitlate писал(а):

D=1 так?

Нет, не так. Напишите значения всех частных производных и полное выражение для $D$.

[vitlate]

$$D=\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}\right)^2\text{.}$$

$$\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}=1$
$$\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}=-1
$\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}=1$.

[Someone]

vitlate писал(а):

$$D=\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}\right)^2\text{.}$$

$$\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}=1$
$$\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}=-1
$\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}=1$.

Вот и считайте, чему равно $D$.

[vitlate]

D=-2
а дальше как считать?

[Someone]

vitlate писал(а):

D=-2
а дальше как считать?

Я же уже написал.

[vitlate]

Спасибо большое!!!!

Добавлено спустя 3 минуты:

а вот как с єтим заданием? Проверить принадлежит ли т.

$$M0(x0;x0;z0)$$

поверхности

$$ r$$

. В случае положительного ответа составить уравнение касательной плоскости и нормали к этой поверхности в т

$$M0$$

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=xyz +2$$

$$M0(1;1;1)$$

[/quote]
я не могу понять по єтой ссылке как делать http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3986

[Someone]

vitlate писал(а):

Добавлено спустя 3 минуты:

а вот как с єтим заданием? Проверить принадлежит ли т.

$$M0(x0;x0;z0)$$

поверхности

$$ r$$

. В случае положительного ответа составить уравнение касательной плоскости и нормали к этой поверхности в т

$$M0$$

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=xyz +2$$

$$M0(1;1;1)$$

я не могу понять по єтой ссылке как делать http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3986

Чтобы проверить, лежит ли точка на поверхности, подставьте координаты точки в уравнение поверхности. Для уравнений касательной плоскости и нормали там просто написаны готовые формулы. Нужно вычислить частные производные в точке $M_0$ и подставить в уравнения. Прежде, чем считать производные, уравнение поверхности нужно записать в виде $f(x,y,z)=0$.

[vitlate]

$$ \sqrt{x}/2+\sqrt{y}/2+\sqrt{z}/2={xyz}/2 =0$$

Уравнение касательной плоскости:

$$\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}(z-z_0)=0$$

.

$$(1/4sqrt{x}-{yz}/2)(x-x_0)+(1/4sqrt{y}-{xz}/2)(y-y_0)+(1/4sqrt{z}-{xy}/2)(z-z_0)=0$$

.
так?

[Someone]

vitlate писал(а):

$$ \sqrt{x}/2+\sqrt{y}/2+\sqrt{z}/2={xyz}/2 =0$$

Не так. Что означают два знака равенства и откуда взялось деление на 2?

Частные производные нужно вычислять именно в точке $M_0$, а не в произвольной точке. Уравнение плоскости в декартовых координатах - это уравнение первой степени.

P.S. Квадратный корень кодируется как \sqrt{...} (между фигурными скобками пишется подкоренное выражение).

[vitlate]

У меня получается так:

$$\frac{(1}/2\sqrt{x} -yz)(x-x_0)+(1/2\sqrt{y} -xz)(y-y_0)+(1/2\sqrt{z} -xy)(z-z_0)=0$$

.
что дальше? куда что подставлять? вместо

$$(x_0;y_0;z_0)$$

надо подставить

$$M_0(1;1;1)$$

??? так? а что дальше?

[Someone]

Там же написано:

$$\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}(z-z_0)=0\text{.}$$

Как по Вашему, что означает $\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}$ и что такое здесь $x_0$, $y_0$, $z_0$?

[vitlate]

это означает, что частные производные берутся в точке

$$M_0(1;1;1)$$

[Someone]

А Вы в какой точке взяли? Подставьте координаты точки $M_0$, и получится то, что нужно.

P.S. Дробь кодируется как \frac{числитель}{знаменатель}. Если числитель или знаменатель записивается одним символом, то фигурные скобки вокруг него не обязательны. В частности, дробь "одна вторая" кодируется как \frac 12.