Странный определитель

[Unconnected]

$\begin{pmatrix} 4 &6 &2 &3 \\ -2 &-4 &-1 &-2 \\ 2& 3 &4 &6 \\ -1 &-2 &-2 &-4 \end{pmatrix}$

нахожу собственные числа, привожу Гауссом к треугольному виду(использую только прибавление умноженной строки), числа выходят $4,-1,3,-0.75$. А онлайн-решалка говорит, что только $-1$ и $3$! Но ведь решается уравнение по сути $det(A)=0$, значит выполняется допустим и $4 \cdot det(A)=0$, а 4 можно внести в какую-нибудь строку под знак определителя.. где ошибка?

[ИСН]

Вы делаете слишком много разных вещей одновременно: определитель, собственные числа, Гаусс... Давайте сначала что-нибудь одно.

[Unconnected]

Привел к треугольному виду. Вышло так:
$\begin{pmatrix} 4 &6 &2 &3 \\ 0 &-1 &0 &-0.5 \\ 0& 0 &3 &4.5 \\ 0 &0 &0 &-0.75 \end{pmatrix}$

[Xaositect]

Unconnected в сообщении #562300 писал(а):

Привел к треугольному виду. Вышло так:

Правильно.

[Unconnected]

Дык и получаются собственные числа, которые я назвал, или нет?

[Xaositect]

Верно ли, что при элементарных преобразованиях строк собственные числа не меняются?

[Unconnected]

Сложно сказать, наверное, меняются.. я думал, что оператор остаётся как бы тем же, и числа значит тоже останутся..

Вообще, я пробовал сначала вычесть из диагонали иксы и потом уже находить определитель, который стал бы характеристическим полиномом и отдал бы мне свои корни. Пользуясь линейностью определителя, нашёл вроде.. пришел к тому же самому.

Простой эксперимент показал, что при вычитании из строки другой строки (домноженной) собственное число уменьшается на соответствующую ячейку...

[Xaositect]

Есть разные понятия "одного и того же" для операторов. Я сейчас, может быть, не очень понятную вещь напишу, если что, не стесняйтесь спрашивать.

Квадратную матрицу можно рассматривать как оператор, действующий из одного $n$-мерного пространства в другое $n$-мерное. Тогда элементарные операции над строками --- это изменение базиса во втором пространстве, а над строками --- в первом.

Например. Пусть есть двумерные пространства с базисами $a_1,a_2$ и $b_1,b_2$ Оператор, переводящий $a_1$ в $b_1 + b_2$, а $a_2$ в $b_1 - b_2$ будет задан в этой паре базисов матрицей $\left(\begin{matrix}1 & 1\\1& -1\end{matrix}\right)$. Если мы сменим во втором пространстве базис на $b'_1 = b_1$, $b'_2 = b_1 + b_2$, то тот же оператор переводит $a_1$ в $b'_2$, а $a_2$ в $2b'_1 - b'_2$, и матрица у него будет $\left(\begin{matrix}0 & 2\\1& -1\end{matrix}\right)$. Получилось, что мы вычли вторую строку из первой.

Теперь посмотрим на определение собственных чисел и собственных векторов: $Ax = \lambda x$. Тут оператор рассматривается как действующий на одном и том же пространстве, так как один и тот же вектор $x$ слева в "пространстве до действия оператора", а справа - "после действия" (это не очень строго, но вроде бы понятно). То есть смена только одного базиса сполне может все покорёжить, и для того, чтобы собственные числа сохранить, надо одновременно менять оба базиса.

Матрицы операторов, одинаковых в первом смысле (мы различаем первое и второе пространство, матрицы не обязательно квадратные), называются эквивалентными.
Матрицы операторов, одинаковых во втором смысле (на одном пространсте; матрицы квадратные) называются подобными

-- Сб апр 21, 2012 01:21:45 --

Unconnected в сообщении #562313 писал(а):

Вообще, я пробовал сначала вычесть из диагонали иксы и потом уже находить определитель, который стал бы характеристическим полиномом и отдал бы мне свои корни. Пользуясь линейностью определителя, нашёл вроде.. пришел к тому же самому.

Вот, приведите Ваши выкладки для нахождения характеристического многочлена, попробуем найти ошибку.

[hippie]

Unconnected в сообщении #562297 писал(а):

А онлайн-решалка говорит, что только -1 и 3!

Странно. У меня упорно получается 4 различных собственных значения: 1, –1, 3 и –3.

$\begin{pmatrix} 4 &6 &2 &3 \\ -2 &-4 &-1 &-2 \\ 2& 3 &4 &6 \\ -1 &-2 &-2 &-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2\cdot \begin{pmatrix} 2 &3 \\ -1 &-2 \end{pmatrix}} &{1\cdot \begin{pmatrix} 2 &3 \\ -1 &-2 \end{pmatrix}} \\ {1\cdot \begin{pmatrix} 2 &3 \\ -1 &-2 \end{pmatrix}} &{2\cdot \begin{pmatrix} 2 &3 \\ -1 &-2 \end{pmatrix}} \end{pmatrix} =$ $ \begin{pmatrix} 2 &1 \\ 1 &2 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 2 &3 \\ -1 &-2 \end{pmatrix}. $
У матрицы $\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 1 &2 \end{pmatrix}$ собственные числа 1 и 3; а у матрицы $\begin{pmatrix} 2 &3 \\ -1 &-2 \end{pmatrix}$ — 1 и –1. Таким образом, собственные числа исходной матрицы равны $1\cdot 1=1;\ 1\cdot (-1)=-1;\ 3\cdot 1=3 \text{ и }3\cdot (-1)=-3.$

Поскольку собственные вектора матрицы $\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 1 &2 \end{pmatrix}$ имеют вид $\binom 1{-1}$ (собственное число 1) и $\binom 11$ (собственное число 3);
а собственные вектора матрицы $\begin{pmatrix} 2 &3 \\ -1 &-2 \end{pmatrix}$ имеют вид $\binom 3{-1}$ (собственное число 1) и $\binom 1{-1}$ (собственное число –1);
то собственные вектора исходной матрицы имеют вид:
$\binom{1\cdot \binom 3{-1}}{-1\cdot \binom 3{-1}}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ (собственное число $1\cdot 1=1$);
$\binom{1\cdot \binom 1{-1}}{-1\cdot \binom 1{-1}}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (собственное число $1\cdot (-1)=-1$);
$\binom{1\cdot \binom 3{-1}}{1\cdot \binom 3{-1}}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ (собственное число $3\cdot 1=3$);
$\binom{1\cdot \binom 1{-1}}{1\cdot \binom 1{-1}}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (собственное число $3\cdot (-1)=-3$).

(Надеюсь, что нигде не напортачил. Проводил все вычисления в уме, но перепроверил их несколько раз. Но если захотите воспользоваться этими рассчётами, то лучше их перепроверить.)

[Unconnected]

Цитата:

Тут оператор рассматривается как действующий на одном и том же пространстве, так как один и тот же вектор $x$ слева в "пространстве до действия оператора", а справа - "после действия" (это не очень строго, но вроде бы понятно). То есть смена только одного базиса сполне может все покорёжить, и для того, чтобы собственные числа сохранить, надо одновременно менять оба базиса.

Угу, понял, почему так делать нельзя (иными словами, почему нельзя сначала преобразовать, а потом вычесть икс из диагонали). Но как менять оба базиса одновременно, тоже не очень понятно..(наверное, этого делать и не нужно). разложил определитель по строке (предварительно вычел из диагонали) - вышло норм.. но это довольно долго. Всё же интересно, как делать преобразованиями:

$\begin{vmatrix} 4-x &6 &2 &3 \\ -2 &-4-x &-1 &-2 \\ 2 &3 &4-x &6 \\ -1 &-2 &-2 & -4-x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 &6 &2 &3 \\ -2 &-4 &-1 &-2 \\ 2 &3 &4 &6 \\ -1 &-2 &-2 & -4 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} -x &6 &2 &3 \\ -2 &-x &-1 &-2 \\ 2 &3 &-x &6 \\ -1 &-2 &-2 & -x \end{vmatrix}$

так вроде можно по линейности определителя. Что бы такого сделать с последней матрицей?

[Joker_vD]

Ага. Т.е.

$$-2=\left|\begin{array}{cc}1 & 2\\ 3 & 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}0&0\\3&4\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}1&2\\0&0\end{array}\right|=0+0=0?$$

[Xaositect]

Unconnected в сообщении #562460 писал(а):

так вроде можно по линейности определителя. Что бы такого сделать с последней матрицей?

Так нельзя, определитель линеен по каждой строке, а не по всей матрице вместе.

Считать определители 4x4, конечно, нудно, но тут его все-таки придется считать. Ну или можно заметить, что матрица имеет хорошую структуру, как сделал hippie

[Unconnected]

Разложил по строке, сошлось. Спасибо!