Dirichlet problem on a punctured domain

[Bridgeport]

Let $\Omega =\{x \in \mathbb{R}: 0<|x|<1\}$ be a unit disk punctured at the center. Consider classical $(C^2(\Omega) \cap C^2(\bar{\Omega}))$ solutions of

$ \left\{ \begin{array}{l} \triangle u = -1, x \in \Omega\\ u(0) = 0\\ u(x) = 0 \quad on \quad |x| =1, \end{array} \right. $

Give an example of such a solution (is it unique?) or else show that there is none.

[V.V.]

Bridgeport писал(а):

Let $\Omega =\{x \in \mathbb{R}: 0<|x|<1\}$

Может быть, $\Omega =\{x \in \mathbb{R}^n: 0<|x|<1\}$?

Bridgeport писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} \triangle u = -1, x \in \Omega\\ u(0) = 0\\ u(x) = 0 \quad on \quad |x| =1, \end{array} \right. $

Give an example of such a solution (is it unique?) or else show that there is none.

Перейдем к сферическим координатам в $n$-мерном пространстве. Из граничных условий видно, $u$ не зависит от углов.

Получаем уравнение
$\frac{1}{r^{n-1}}\frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^{n-1}\frac{\partial u}{\partial r}\biggr)=-1$.
Отсюда
$\frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^{n-1}\frac{\partial u}{\partial r}\biggr)=-r^{n-1}$;
$r^{n-1}\frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{r^n}{n}+C_1$; .
$\frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{r}{n}+\frac{C_1}{r^{n-1}}$;
$u=-\frac{r^2}{2n}-\frac{C_1}{(2-n)r^{n-2}}+c_2$; ($n\ne 2$)

Для $r=0$ должно быть все хорошо, откуда $C_1=c_2=0$. Но тогда $u|_{r=1}\ne 0$.

Для $n=2$ получаем $u=-\frac{r^2}{4}+C_1\log|r|+c_2$. Откуда опять $C_1=c_2=0$