2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Dirichlet problem on a punctured domain
Сообщение27.02.2007, 18:54 
Let $\Omega =\{x \in \mathbb{R}: 0<|x|<1\}$ be a unit disk punctured at the center. Consider classical $(C^2(\Omega) \cap C^2(\bar{\Omega}))$ solutions of

$
\left\{ \begin{array}{l}
\triangle u = -1, x \in \Omega\\
u(0) = 0\\
u(x) = 0 \quad on \quad |x| =1,
\end{array} \right.
$

Give an example of such a solution (is it unique?) or else show that there is none.

 
 
 
 Re: Dirichlet problem on a punctured domain
Сообщение27.02.2007, 19:58 
Bridgeport писал(а):
Let $\Omega =\{x \in \mathbb{R}: 0<|x|<1\}$

Может быть, $\Omega =\{x \in \mathbb{R}^n: 0<|x|<1\}$?

Bridgeport писал(а):
$
\left\{ \begin{array}{l}
\triangle u = -1, x \in \Omega\\
u(0) = 0\\
u(x) = 0 \quad on \quad |x| =1,
\end{array} \right.
$

Give an example of such a solution (is it unique?) or else show that there is none.


Перейдем к сферическим координатам в $n$-мерном пространстве. Из граничных условий видно, $u$ не зависит от углов.

Получаем уравнение
$\frac{1}{r^{n-1}}\frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^{n-1}\frac{\partial u}{\partial r}\biggr)=-1$.
Отсюда
$\frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^{n-1}\frac{\partial u}{\partial r}\biggr)=-r^{n-1}$;
$r^{n-1}\frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{r^n}{n}+C_1$; .
$\frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{r}{n}+\frac{C_1}{r^{n-1}}$;
$u=-\frac{r^2}{2n}-\frac{C_1}{(2-n)r^{n-2}}+c_2$; ($n\ne 2$)

Для $r=0$ должно быть все хорошо, откуда $C_1=c_2=0$. Но тогда $u|_{r=1}\ne 0$.

Для $n=2$ получаем $u=-\frac{r^2}{4}+C_1\log|r|+c_2$. Откуда опять $C_1=c_2=0$

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group