поток градиента

[letto]

Добрый день! Не могли бы Вы помочь мне с таклй задачей?
Нужно найти поток градиента функции $x^2+y^2$ черех положительно ориентированную окружность радиуса 1.
Спасибо!

[integral2009]

0

[letto]

а почему так,не могли бы Вы объяснить?

[integral2009]

letto в сообщении #561467 писал(а):

а почему так,не могли бы Вы объяснить?

Я не уверен на 100%, поэтому отвечать не буду. Думаю, что еще кто-то должен зайти вам подсказать;)

[Munin]

letto в сообщении #561460 писал(а):

Не могли бы Вы помочь мне с таклй задачей?

Попробуйте записать градиент, потом искомый поток как интеграл, потом вычислить этот интеграл.

[vvsss]

Ответ 2 Pi (x0 + y0)

Можно
найти div U = 2(x + y)
Найти поток для единичной окружности с центром в (0,0)
интегрируя дивергенцию по площади.
Найти изменение потока при сдвиге центра окружности в точку (x0, y0)

[svv]

vvsss писал(а):

div U = 2(x + y)

vvsss, Вы дивергенцию скалярной функции, что ли, нашли?

[Padawan]

Я знаю, что такое поток через поверхность ( в трехмерном пространстве) -- это $\int_S (\vec a,\vec n) dS$, где $\vec n$ -- нормаль к поверхности. А что такое поток через кривую на плоскости?

[integral2009]

Padawan в сообщении #561642 писал(а):

Я знаю, что такое поток через поверхность ( в трехмерном пространстве) -- это $\int_S (\vec a,\vec n) dS$, где $\vec n$ -- нормаль к поверхности. А что такое поток через кривую на плоскости?

Поэтому я и ответил, что ноль) Раз площадь у кривой ноль, то и поток ноль. Можно долго придираться и говорить, что площадь для кривой не определена, но чисто формально она равна нулю)

[svv]

Давайте считать, что пространство двумерное. Поток через кривую -- $\int_{\gamma} (\vec a,\vec n) dl$, где $\vec n$ -- нормаль к кривой. Градиент скалярной функции $\varphi$ -- это векторное поле с декартовыми компонентами $\frac{\partial\varphi}{\partial x}, \frac {\partial\varphi}{\partial y}$.

Если понимать таким образом условие, задача будет иметь смысл, и становится понятным сюрприз, заготовленный составителями: поток в данном случае не зависит от выбора центра окружности, поэтому центр и не был указан.

Справедлив двумерный аналог теоремы Гаусса-Остроградского: $\oint_{\partial G} (\vec a,\vec n) dl=\int_G \operatorname{div} \vec a\; dS$, где двумерная дивергенция $\operatorname{div}\vec a=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac {\partial a_y}{\partial y}$. Эта теорема упрощает решение.

[alcoholist]

Padawan в сообщении #561642 писал(а):

Я знаю, что такое поток через поверхность

поток можно считать через любую поверхность коразмерности 1: главное -- нормаль есть в каждой точке

[vvsss]

Интеграл от 2(х0+у0) по единичному кругу все таки равен 2 pi (х0+у0).
И приятной неожиданности независимости от положения центра окружности не наблюдаю.

Аналог Остроградского-Гаусса в плоскости смотрите например в справочнике
Бронштейн Семендяев 3.1.13.1
Там прямо записана формула Грина для плоской области.

Записанное svv я считал очевидным стандартом и мне трудно понять
дискуссию о нулевой площади кривой. Пользуясь этим стандартом я
нашел 7 разных формул для определения площадей квадрик.

Может быть кому-то будет интересно, рисунки в статьях живые - щелчком по ним
входишь в интерактивный рисунок. Ссылку дам, когда найду.

[svv]

Просто дивергенция от скалярной функции $u=x^2+y^2$ не определена ни в трехмерном, ни в двумерном пространстве. В задании требуется найти поток градиента $u$, обозначим его $\mathbf a=\operatorname{grad} u$. Градиент -- это векторное поле, оно имеет две компоненты:
$a_x=\frac{\partial u}{\partial x}=2x\;,\; a_y=\frac{\partial u}{\partial y}=2y$.

Далее пользуемся теоремой Гаусса-Остроградского, по которой
$\oint_{\partial G} (\mathbf a,\mathbf n) dl=\int_G \operatorname{div}\mathbf a\; dS$
В правую часть подставляем
$\operatorname{div}\mathbf a = \frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(2x)+\frac{\partial}{\partial y}(2y)=4$
Чуть проще было бы найти лапласиан:
$\operatorname{div}\operatorname{grad} u=\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=4$

Остаётся умножить константу $4$ на площадь единичного круга $\pi$.

[vvsss]

http://deoma-cmd.ru/files/sets/HigherEducation/Плоские квадрики и площади ограниченных ими фигур.pdf
http://deoma-cmd.ru/files/sets/HigherEducation/Пространственные квадрики и объёмы ограниченных ими тел.pdf

svv - согласен с Вами.
Я ошибся на входе с div. Простите.
Остальную дискуссию я понять по прежнему не могу.

[svv]

Сам тоже, бывает, ошибаюсь.
А какие утверждения Вам хотелось бы понять? (мои либо других участников)