Множители Лагранжа

[cyb12]

Подскажите, пожалуйста, как решать такую задачу:
В пространстве $L^2(0,l)$ поставлена задача минимизации с ограничением:

$$J(u) = \int\limits_0^lu^2(x)dx \to \inf,$$

$$y'(l/2)+\dfrac1ly(l/2)\geqslant 14l,$$

где $y(x)=y(x,u)$ -- решение краевой задачи

$$y''(x)=u(x), \hphantom{aaaa} 0<x<l , \hphantom{aaaa} y'(0)=y(l)=0,$$

соответствующее выбранной функции $u(x)\in L^2(0,l).$
Задачу требуется решить методом множителей Лагранжа.
Проблема возникает уже при составлении функции Лагранжа. Пробовал $L(u,\lambda)=\int\limits_0^lu^2(x)dx+\lambda(-y'(l/2)-\dfrac1ly(l/2)+ 14l)$, но с ее дифференцированием потом возникли большие проблемы. Или тут есть какой-то хитрый метод?

[IE]

Ну продифференцировать функцию Лагранжа еще можно:

$$y'(x)=\int\limits_{0}^{x}u(t)\,dt+y'(0),\quad y(x)=\int\limits_{0}^{x}y'(t)\,dt+y(0)=\int\limits_{0}^{x}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt+y(0)$$

$$y(l)=\int\limits_{0}^{l}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt+y(0)=0\Rightarrow y(0)=-\int\limits_{0}^{l}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt$$

Таким образом

$$g(u)=14l-\int\limits_{0}^{l/2}u(t)\,dt-\frac{1}{l}\int\limits_{0}^{l/2}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt+\int\limits_{0}^{l}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt=14l-\int\limits_{0}^{l/2}u(t)\,dt+\frac{1}{l}\int\limits_{l/2}^{l}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt$$

А производная будет иметь вид:

$$g'(u)[h]=-\int\limits_{0}^{l/2}h(t)\,dt+\frac{1}{l}\int\limits_{l/2}^{l}\int\limits_{0}^{t}h(\xi)\,d\xi\,dt$$

[cyb12]

Да, вот я как раз получил это и пока печатал, Вы ответили.
Вот, что пока получилось: так как

$$y(x)=\int_l^x\int_0^t u(s)dsdt$$

$$y'(x)=\int_0^xu(s)ds,$$

то функция Лагранжа примет вид:

$$L(u,\lambda)=\int\limits_0^lu^2(x)dx+\lambda\left(14l-\int\limits_0^{\frac l2}u(x)dx+\dfrac1l\int\limits_{\frac l2}^l\int\limits_0^tu(s)dsdt\right)$$

А как Вы взяли производную функции $g(u)$?

[IE]

Как обычно, по определению, на двойной интеграл лучше посмотреть как на сложную функцию.

-- Пн июн 14, 2010 11:24:42 --

Дальше получается, что минимум может достигаться на границе нашего множества, то есть

$$y'(l/2)+\frac{1}{l}y(l/2)=14l$$

[cyb12]

А первый интеграл можно рассматривать как норму в пространстве $L^2(0,l)$? И тогда так как

$$(||u||^2)'=2u$$

(если отождествлять по теореме Рисса), то если $G(u)=\int_0^lu^2(x)dx$, то

$$G'(u)[h]=\langle 2u,h\rangle_{L^2(0,l)}=\int_0^l2u(x)h(x)dx\hphantom{aaaa}?$$

[IE]

да

[cyb12]

Необходимо найти минимум у функции Лагранжа. Это как-то можно сделать через посчитанную производную? То есть сама производная - оператор. Какое тогда необходимое условие? Нужно приравнять производную к нулю? использовать то, что в функции Лагранжа слагаемое с $\lambda$ должно равняться 0?

[cyb12]

То есть, как я понял, должно быть так:

$$\int\limits_{0}^{l/2}u(t)\,dt-\frac{1}{l}\int\limits_{l/2}^{l}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt=14l,$$

$$\int_0^l2u(x)h(x)dx+\lambda\left(-\int\limits_{0}^{l/2}h(t)\,dt+\frac{1}{l}\int\limits_{l/2}^{l}\int\limits_{0}^{t}h(\xi)\,d\xi\,dt\right)=0 \hphantom {aa} \forall h \in L^2(0,l) ?$$

И тем самым найти $u_*$, на котором достигается $\inf$? Такую систему как-нибудь можно решить?
Я пробовал представлять это в виде скалярных произведений в $L^2$, но там проблема с двойным интегралом. Что-то совсем никак.

[PoCTo]

Прошел год, но до сих пор не стало понятно, что делать дальше :(

[мат-ламер]

cyb12 в сообщении #331048 писал(а):

Необходимо найти минимум у функции Лагранжа

Но это не совсем так. У Вас задача с неравенствами. Условия минимума в конечномерном случае - теорема Куна-Таккера. А в Вашем случае - это вообще типа оптимального управления (может быть). Посмотрите эту книгу - http://www.twirpx.com/file/272156/. Есть также тут - http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/variational.htm.