2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Множители Лагранжа
Сообщение14.06.2010, 00:18 
Подскажите, пожалуйста, как решать такую задачу:
В пространстве $L^2(0,l)$ поставлена задача минимизации с ограничением:
$$J(u) = \int\limits_0^lu^2(x)dx \to \inf,$$
$$y'(l/2)+\dfrac1ly(l/2)\geqslant 14l,$$
где $y(x)=y(x,u)$ -- решение краевой задачи
$$y''(x)=u(x), \hphantom{aaaa} 0<x<l , \hphantom{aaaa} y'(0)=y(l)=0,$$соответствующее выбранной функции $u(x)\in L^2(0,l).$
Задачу требуется решить методом множителей Лагранжа.
Проблема возникает уже при составлении функции Лагранжа. Пробовал $L(u,\lambda)=\int\limits_0^lu^2(x)dx+\lambda(-y'(l/2)-\dfrac1ly(l/2)+ 14l)$, но с ее дифференцированием потом возникли большие проблемы. Или тут есть какой-то хитрый метод?

 
 
 
 Re: Множители Лагранжа
Сообщение14.06.2010, 11:05 
Ну продифференцировать функцию Лагранжа еще можно:
$$y'(x)=\int\limits_{0}^{x}u(t)\,dt+y'(0),\quad y(x)=\int\limits_{0}^{x}y'(t)\,dt+y(0)=\int\limits_{0}^{x}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt+y(0)$$
$$y(l)=\int\limits_{0}^{l}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt+y(0)=0\Rightarrow y(0)=-\int\limits_{0}^{l}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt$$
Таким образом
$$g(u)=14l-\int\limits_{0}^{l/2}u(t)\,dt-\frac{1}{l}\int\limits_{0}^{l/2}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt+\int\limits_{0}^{l}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt=14l-\int\limits_{0}^{l/2}u(t)\,dt+\frac{1}{l}\int\limits_{l/2}^{l}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt$$

А производная будет иметь вид:
$$g'(u)[h]=-\int\limits_{0}^{l/2}h(t)\,dt+\frac{1}{l}\int\limits_{l/2}^{l}\int\limits_{0}^{t}h(\xi)\,d\xi\,dt$$

 
 
 
 Re: Множители Лагранжа
Сообщение14.06.2010, 11:17 
Да, вот я как раз получил это и пока печатал, Вы ответили.
Вот, что пока получилось: так как
$$y(x)=\int_l^x\int_0^t u(s)dsdt$$
$$y'(x)=\int_0^xu(s)ds,$$
то функция Лагранжа примет вид:
$$L(u,\lambda)=\int\limits_0^lu^2(x)dx+\lambda\left(14l-\int\limits_0^{\frac l2}u(x)dx+\dfrac1l\int\limits_{\frac l2}^l\int\limits_0^tu(s)dsdt\right)$$
А как Вы взяли производную функции $g(u)$?

 
 
 
 Re: Множители Лагранжа
Сообщение14.06.2010, 11:20 
Как обычно, по определению, на двойной интеграл лучше посмотреть как на сложную функцию.

-- Пн июн 14, 2010 11:24:42 --

Дальше получается, что минимум может достигаться на границе нашего множества, то есть
$$y'(l/2)+\frac{1}{l}y(l/2)=14l$$

 
 
 
 Re: Множители Лагранжа
Сообщение14.06.2010, 11:31 
А первый интеграл можно рассматривать как норму в пространстве $L^2(0,l)$? И тогда так как $$(||u||^2)'=2u$$ (если отождествлять по теореме Рисса), то если $G(u)=\int_0^lu^2(x)dx$, то $$G'(u)[h]=\langle 2u,h\rangle_{L^2(0,l)}=\int_0^l2u(x)h(x)dx\hphantom{aaaa}?$$

 
 
 
 Re: Множители Лагранжа
Сообщение14.06.2010, 11:32 
да

 
 
 
 Re: Множители Лагранжа
Сообщение14.06.2010, 11:42 
Необходимо найти минимум у функции Лагранжа. Это как-то можно сделать через посчитанную производную? То есть сама производная - оператор. Какое тогда необходимое условие? Нужно приравнять производную к нулю? использовать то, что в функции Лагранжа слагаемое с $\lambda$ должно равняться 0?

 
 
 
 Re: Множители Лагранжа
Сообщение14.06.2010, 22:29 
То есть, как я понял, должно быть так:
$$\int\limits_{0}^{l/2}u(t)\,dt-\frac{1}{l}\int\limits_{l/2}^{l}\int\limits_{0}^{t}u(\xi)\,d\xi\,dt=14l,$$
$$\int_0^l2u(x)h(x)dx+\lambda\left(-\int\limits_{0}^{l/2}h(t)\,dt+\frac{1}{l}\int\limits_{l/2}^{l}\int\limits_{0}^{t}h(\xi)\,d\xi\,dt\right)=0 \hphantom {aa} \forall h \in L^2(0,l) ?$$
И тем самым найти $u_*$, на котором достигается $\inf$? Такую систему как-нибудь можно решить?
Я пробовал представлять это в виде скалярных произведений в $L^2$, но там проблема с двойным интегралом. Что-то совсем никак. :-(

 
 
 
 Re: Множители Лагранжа
Сообщение18.04.2012, 13:56 
Прошел год, но до сих пор не стало понятно, что делать дальше :(

 
 
 
 Re: Множители Лагранжа
Сообщение18.04.2012, 21:02 
Аватара пользователя
cyb12 в сообщении #331048 писал(а):
Необходимо найти минимум у функции Лагранжа

Но это не совсем так. У Вас задача с неравенствами. Условия минимума в конечномерном случае - теорема Куна-Таккера. А в Вашем случае - это вообще типа оптимального управления (может быть). Посмотрите эту книгу - http://www.twirpx.com/file/272156/. Есть также тут - http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/variational.htm.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group