Сходимость первых моментов vs. сходимость мат. ожиданий.

[mi.d]

Привет. Вопрос, скорее всего, прост, но меня окончательно заклинило.

Как соотносятся между собой сходимости $E\xi_n \to E\xi$ и $E|\xi_n| \to E |\xi|$ ?

Мне почему-то кажется, что из сходимости 1-х моментов следует сходимость мат. ожиданий, но доказать и это не получается.

[_hum_]

Если взять в качестве с.в. вырожденные с.в., то есть, $\xi_n \equiv a_n, где a_n \in \mathbb{R}$, то вопрос сводится к "всегда ли из сходимости последовательности $\{|a_n|\}_n$ вытекает сходимость $\{a_n\}_n$.

P.S. Матожидание тоже является первым моментом (только не абсолютным).

[mi.d]

_hum_, спасибо, навели на мысль.

В общем, к сожалению, одно и другое никак не связаны.
1) Берём $E \xi_n^+ = E \xi_n^-= n $. Тогда мат ожидания сходятся (к нулю), а первые абсолютные моменты расходятся;
2) Берём $E \xi_n^+= n\mod 2, E \xi_n^-= n\mod 2+1 $. Тогда первые абс. моменты сходятся (к 1), а м.о. - расходятся.

Тогда возникает другой, хоть и близкий вопрос.
Пусть $\xi_n\Rightarrow\xi$ (при этом хорошо известно, что мат. ожидания не обязаны сходиться).
Равносильны ли в этом случае сходимость первых моментов и первых абсолютных моментов?

[_hum_]

mi.d в сообщении #560691 писал(а):

Тогда возникает другой, хоть и близкий вопрос.
Пусть $\xi_n\Rightarrow\xi$ (при этом хорошо известно, что мат. ожидания не обязаны сходиться).
Равносильны ли в этом случае сходимость первых моментов и первых абсолютных моментов?

Вряд ли. Пусть $\alpha_n$ - с.в., имеющие плотности распределения:

$$f_{\alpha_n} = n \left(1 - \frac{1}{n}\right) I_{\big(0, \frac{1}{n}\big)} + I_{\big(n - \frac{1}{2n}, n + \frac{1}{2n}\big)}.$$

Положим

$$f_{\xi_n}(x) = f_{\alpha_n}((-1)^n x).$$

Тогда для нечетных номеров $\mathrm{E}\xi_n \rightarrow -1$, для четных $\mathrm{E}\xi_n \rightarrow 1$. И при этом $\xi_n$ слабо (и даже по вероятности) сходится к вырожденному распределению, сосредоточенному в нуле.

[mi.d]

Оооочень странно. Излагаю свои соображения.
Пусть $Q_\xi(p)$ - нижняя квантиль уровня $p$.
Пусть $\xi_n\to\xi$ в метрике Канторовича $K(\xi,\eta)=\int\limits_0^1|Q_\xi(p)-Q_\eta(p)|\,dp$. Сходимость в метрике Канторовича эквивалентна слабой сходимости плюс сходимости первых абсолютных моментов.
Далее,
$|E\xi_n-E\xi|=\Big| \int\limits_0^1 Q_{\xi_n}(p) \,dp - \int\limits_0^1 Q_{\xi}(p) \,dp \Big|\leq \int\limits_0^1 |Q_{\xi_n}(p)-Q_{\xi}(p)| \,dp = K(\xi_n,\xi)$, что сходится к 0, и поэтому $E\xi_n\to E\xi$.

Получается, что в Вашем случае $\xi_n\to\xi$ в метрике Канторовича (поскольку есть слабая сходимость и сходимость первых абс. моментов), но при этом нет сходимости моментов.
Где может быть ошибка в моих рассуждениях?

[--mS--]

mi.d в сообщении #560820 писал(а):

Получается, что в Вашем случае $\xi_n\to\xi$ в метрике Канторовича (поскольку есть слабая сходимость и сходимость первых абс. моментов), но при этом нет сходимости моментов.

В примере, предложенном _hum_, абсолютные первые моменты сходятся, но не туда, куда нужно.

[mi.d]

--mS-- в сообщении #560828 писал(а):

В примере, предложенном _hum_, абсолютные первые моменты сходятся, но не туда, куда нужно.

Действительно, Вы правы. Тогда остаётся открытым ПОСЛЕДНИЙ вопрос.

Если $\xi_n\Rightarrow\xi$ и $E\xi_n\to E\xi$, то верно ли, что $E|\xi_n|\to E|\xi|$ ?

[mi.d]

_hum_, ещё раз спасибо!
С помощью Вашего примера удалось построить аналогичный, опровергающий и последнее предположение. Грустно слегка, т.к. большие надежды были.

[--mS--]

mi.d в сообщении #560834 писал(а):

Тогда остаётся открытым ПОСЛЕДНИЙ вопрос.

Если $\xi_n\Rightarrow\xi$ и $E\xi_n\to E\xi$, то верно ли, что $E|\xi_n|\to E|\xi|$ ?

Чуть-чуть опоздала, ну да ладно, стандартный пример: $\mathsf P(\xi_n=\pm n)=\frac{1}{2n}$, $\mathsf P(\xi_n=0)=1-\frac1n$, $\xi_n\Rightarrow 0$, $\mathsf E\xi_n=0\to 0$, но $\mathsf E|\xi_n|=1$.

[mi.d]

--mS-- в сообщении #560868 писал(а):

Чуть-чуть опоздала, ну да ладно, стандартный пример: $\mathsf P(\xi_n=\pm n)=\frac{1}{2n}$, $\mathsf P(\xi_n=0)=1-\frac1n$, $\xi_n\Rightarrow 0$, $\mathsf E\xi_n=0\to 0$, но $\mathsf E|\xi_n|=1$.

И Вам спасибо, уже не первый раз выручаете. Я построил почти такой же пример, только непрерывный.

[--mS--]

Если обрезать левый или правый хвост, оставить один (например, $\xi_n \geq C$ для всех $n$, где $C$ сколь угодно отрицательное, но фиксированное), то нужный факт будет, конечно, иметь место. Тогда сразу из сходимости моментов и сходимости слабой будет вытекать равномерная интегрируемость, а из неё - сходимость в среднем первого порядка, и поэтому сходимость абсолютных моментов. Только, видимо, Вам не нужны ограниченные снизу/сверху с.в. :)