Дождь

[romka_pomka]

Пошел весенний упругий дождь. Тяжелые капли кометами вспыхивают в косых солнечных лучах. Дорожка, вымощенная квадратной плиткой, начала стремительно покрываться мокрыми кляксами. Стоп! Площадь одной квадратной плитки - $S_0$, площадь мокрой кляксы от дождевой капли - $s^*$. Найти среднюю площадь на плитке, намоченную $N$ каплями.

[dovlato]

По крайней мере для не очень большого количества капель получается такое рекуррентное ур-ние
($n$ - номер капли)

$$a_{n+1}=(1-\frac{s}{S_0})a_n+s$$

Здесь $a_n$ - мат. ожидание мокрой площади. Ну и дальше это решается известными методами.

[mihiv]

Из рекуррентного соотношения получим: $a_n=S_0-S_0(1-\dfrac s{S_0})^n$.Интересно было бы учесть,неполное перекрытие капель(можно считать,например,что перекрывается не более 2-х капель)

[romka_pomka]

mihiv в сообщении #560513 писал(а):

Интересно было бы учесть,неполное перекрытие капель

да, как раз это интересно.

[dovlato]

mihiv в сообщении #560513 писал(а):

Из рекуррентного соотношения получим: $a_n=S_0-S_0(1-\dfrac s{S_0})^n$.Интересно было бы учесть,неполное перекрытие капель(можно считать,например,что перекрывается не более 2-х капель)

Честно говоря, я сам не знаю, насколько уравнение соответствует действительности. Само по себе полученное его решение выглядит, конечно, разумно. Смущает то, что когда капель много, перестают быть правомочными те интуитивные догадки, на основе которых оно выведено.

[Parkhomuk]

Я получил такое же решение. Исходил из геометрической вероятности. Никаких ограничений на перекрытия капель не вводилось (т.е. их может быть хоть сколько). Правда формула отражает наиболее вероятную площадь и строго верна лишь для первой капли. Задача была бы интересней если б требовалось найти вероятность для мокрой поверхности в заданном интервале площади около наиболее вероятной (т.е. той что мы определили).

[romka_pomka]

Parkhomuk в сообщении #560583 писал(а):

Я получил такое же решение. Исходил из геометрической вероятности. Никаких ограничений на перекрытия капель не вводилось (т.е. их может быть хоть сколько).

Больше похоже, что такое решение получается, когда нет ни одного перекрытия: либо капли полностью попадают на сухое, либо точно в центр мокрого пятна. То есть - странное решение, оторванное от условия: бросить точку в частично мокрый квадрат, а потом (если попала на сухое) придать ей смысл добавочной намоченной площади. Но задача как раз на перекрытия.

[Parkhomuk]

romka_pomka в сообщении #560591 писал(а):

что такое решение получается, когда нет ни одного перекрытия

нет, когда нет ни одного перекрытия то ответ sN
Однако я понял, что Вы имели ввиду (всмысле что при намокании реализуется лишь два варианта события: неперекрытие и полное перекрытия). Но решая методом геометрической вероятности это не имеет значения. Попробуйте решить Сами, может я ошибаюсь, но вроде все верно.

[romka_pomka]

Parkhomuk в сообщении #560596 писал(а):

romka_pomka в сообщении #560591 писал(а):

что такое решение получается, когда нет ни одного перекрытия

нет, когда нет ни одного перекрытия то ответ sN

если капли не совпадают, то так. Но в Ваше решение включается еще вероятность попадания точки в уже мокрую область, и тут делается неверное предположение, что попав в мокрую область, капля не увеличит мокрую площадь. И получается как раз то, что написал dovlato во втором сообщении этой ветки.

Parkhomuk в сообщении #560596 писал(а):

Но решая методом геометрической вероятности это не имеет значения. Попробуйте решить Сами

Что такое "метод геометрической вероятности"?

[venco]

romka_pomka в сообщении #560601 писал(а):

Но в Ваше решение включается еще вероятность попадания точки в уже мокрую область, и тут делается неверное предположение, что попав в мокрую область, капля не увеличит мокрую площадь.

Ну рассмотрите каждую точку новой капли отдельно. Она либо попадёт на мокрое место и ничего не изменит, либо попадёт на сухое и увеличит именно на столько. Матожидание суммы по точкам новой капли равно сумме матожиданий, т.е. формула mihiv верна.

[romka_pomka]

venco в сообщении #560732 писал(а):

формула mihiv верна.

да что же это такое?! Кто Вас заслуженным участником сделал? Что тут происходит? Что за профанация?

[dovlato]

Вот, сделал наконец точно. Разобьём всю площадку на $N$ очень маленьких кусочков с площадью $\delta \ll s_0$.
Поток капель, падающих на всю площадку, будем считать пуассоновским со средней частотой падения капель $\nu$, и с параметром $\lambda(t)=\nu t$. Соответствующий параметр для каждого малого кусочка, размеры которого пренебрежимо малы даже по сравнению с пятном от капли, равен

$$\mu(t)=\frac s{S_0} \nu t$$

Следовательно, вероятность кусочку остаться сухим к моменту $t$ равна

$$q(t)=\exp(-\frac s{S_0} \nu t)$$

Вероятность, что он уже мокрый, $p(t)=1-\exp(-\frac s{S_0} \nu t).$
Введём индикаторную функцию $u(k)=0$, если $k=0$, и $u(k)=1, k>0$.
Площадь сухой поверхности

$$S(t)=\delta \cdot\sum^N_{i=1}{u(k_i)}$$

Тут можно найти вообще всё, но я ограничусь мат. ожиданием величины сухой площади:

$$\langle S(t) \rangle =N\delta \langle u(k) \rangle=S_0 \exp(-\frac s{S_0} \nu t)$$

То есть качественно зависимость от времени повторяет полученное выше решение эмпирического ДУ.

[obar]

romka_pomka в сообщении #560800 писал(а):

да что же это такое?! Кто Вас заслуженным участником сделал? Что тут происходит? Что за профанация?

На самом деле формула

$$ S_N=S_0\left(1-\Big(1-\frac{s}{S_0}\Big)^N\right)\eqno(1) $$

не так уж и плоха и учитывает вероятности перекрытия капель. Начнем с простого случая $N=2$. Две капли будут иметь общую область перекрытия, если их центры лежат на расстоянии не более чем $2r$. Следовательно, вероятность пересечения двух капель $p=\frac{4s}{S_0}$. Средняя площадь, занимаемая двумя каплями, будет

$$ S_2=2sq+s_2p\,,\quad q=1-p\,, $$

где $s_2$ -- средняя площадь двух капель при наличии перекрытия между ними. Площадь $s_2$ вычисляем прямым интегрированием

$$ s_2=\int_0^rs_2(x)dw(x)\,,\quad dw(x)=\frac{2\pi xdx}{\pi r^2}=\frac{2xdx}{r^2}\,, $$

$$ s_2(x)=2(\pi r^2+x\sqrt{r^2-x^2}-r^2\mathrm{arccos}(x/r))\,, $$

$s_2(x)$ -- площадь двух капель, центры которых находятся на расстоянии $2x$. Вычислив интеграл, находим, что $s_2=\frac74s$. В итоге

$$ S_2=2sp+\frac74sq=2s-\frac{s^2}{S_0}\,, $$

что совпадает с значением (1).

Аналогично рассматривается случай $N=3$.

$$ S_3=3sq^3+3(s+s_2)pq^2+3s_{31}p^2q+s_{32}q^3\,.\eqno(2) $$

Первое слагаемое соответствует случаю, когда все капли не пересекаются, второе соответствует одному парному пересечению и одной изолированной капли, последние два -- тройным пересечениям, которые бывают двух типов: $\bigcirc\!\!\!\bigcirc\!\!\!\bigcirc$, когда только одна капля имеет пересечение с двумя другими, средняя площадь $s_{31}=(121/48)s$, и $\bigcirc\hspace{-0.25cm}\raisebox{4pt}{$\bigcirc$}\hspace{-0.25cm}\bigcirc$ когда любые две капли пересекаются друг с другом, средняя площадь $s_{32}$. Раскрыв скобки в (2) получаем

$$ S_3=3s-3\frac{s^2}{S_0}+\frac{s^3}{S_0^2}+64(\beta-37/16)\frac{s^4}{S_0}\,,\quad \beta\equiv s_{32}/s\,.\eqno(3) $$

Я не удивлюсь, если окажется, что $\beta=37/16$ и выражение (3) точно совпадает с (1). Если даже это не так, то они отличаются лишь последним слагаемым. По крайней мере значение $\beta\approx2.31$ вполне разумно соотносится с $s_{31}/s=2.52$ и выглядит правдоподобным (точное вычисление достаточно громоздко и потому лень считать).

Можно рассмотреть и случай 4-х капель и убедиться, что при указанных значениях $s_2$ и $s_{31}$ первые три слагаемых совпадают с (1)

$$ S_4=4s-6\frac{s^2}{S_0}+4\frac{s^3}{S_0^2}+\ldots $$

В последующие слагаемые входят неизвестные площади $s_{32}$, $s_{41}$, $s_{42}$ и т.п.

Поскольку такие совпадения маловероятны, то можно предположить, что формула (1) точная, учитывающая все возможные пересечения при любых $N$.

[dovlato]

Точный результат для математич. ожидания сухой площади я привёл выше. Оба выражения довольно близко соответствуют друг другу, если учесть, что

$$1-\frac s{S_0} \approx \exp\left(-\frac {s}{S_0}\right); \langle N \rangle =\nu t$$

[obar]

Точный результат (скорее всего, что это так) вы привели случайно в первом сообщении. То, что вы пишите сейчас не соответствует даже частному случаю $N=2$.