Только что закончилась олимпиада Северо-Запада. Предлагаю порешать:
1. Непрерывная на

функция такова, что для любого

функция

дифференцируема для любого

. Следует ли отсюда, что

- дифференцируема на

?
2. Найти расстояние между графиками функций

и

.
3.

и

- линии пересечения поверхности

, соответственно, с поверхностями

и

. Заданы точка

, плоскость

и последовательность замкнутых ломаных

,

такая, что для любого

плоскость

пересекает все звенья

во внутренних точках (не вершинах):

в точке

,

в точке

,

,

в точке

. Найти

4. График функции

качается оси

только в двух точках с абсциссами

и

, причем

,

. Найти

и точки экстремума функции.
5. Доказать, что ортогональная проекция любого эллипсоида на любую плоскость есть эллипс.
6. Доказать, что координаты любой точки

кривой

удовлетворяют неравенству

. Найти все

, при которых достигается это равентсво.
7. Пусть для некоторых матриц

размера

справедливо равенство

, где у матрицы

элемент

, а остальные равны

, и

. Имеет ли обратную матрица

, где

- едичная матрица?
8. Из уравнения

найти

.
9. Пусть

- дважды дифференцируемая вещественная функция, удовлетворяющая уравнению

, где

для любого

. Докажите, что

- ограничена.
10. Сходится ли интеграл

.
(Оффтоп)
Где-то было. Помоему даже мой пост был.
11. Пусть

- линейное подпространство в вещественном пространстве
![$C[0,1], M>0$ $C[0,1], M>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/9/f293bdc4d31420fe832c2ed2c3b40ba482.png)
. Известно, что для любой функции

выполнено неравенство
![$\operatorname{max}_{x\in [0,1]}|f(x)|\le M\sqrt{\int\limits_{0}^{1}f^2(x)dx}$ $\operatorname{max}_{x\in [0,1]}|f(x)|\le M\sqrt{\int\limits_{0}^{1}f^2(x)dx}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/6/a56b853f27db3aedb43ca902597a560782.png)
. Докажите, что

.
12. Пусть

,

,

. Вычислить определитель матрицы

матрицы

, где

,

, для всех

.