Олимпиада СПбГУ ИТМО

[xmaister]

Только что закончилась олимпиада Северо-Запада. Предлагаю порешать:
1. Непрерывная на $\mathbb{R}$ функция такова, что для любого $x\in\mathbb{R}$ функция $f(f(x))$ дифференцируема для любого $x\in\mathbb{R}$. Следует ли отсюда, что $f(x)$- дифференцируема на $\mathbb{R}$?
2. Найти расстояние между графиками функций $y=e^{2012x}$ и $y=\frac1{2012}\ln x$.
3. $L_1$ и $L_2$- линии пересечения поверхности $x^2+y^2=1$, соответственно, с поверхностями $z=0$ и $z=(x-1)^2+y^2$. Заданы точка $A_1(1,0,0)$, плоскость $S$ и последовательность замкнутых ломаных $M_{2n}=A_1A_2A_3\ldots A_{2n}A_1$, $(A_{2k}\in L, A_{2k+1}\in L_1)$ такая, что для любого $n$ плоскость $S$ пересекает все звенья $M_{2n}$ во внутренних точках (не вершинах): $A_1A_2$ в точке $B$, $A_2,A_3$ в точке $B_2$, $\ldots$, $A_{2n}A_1$ в точке $B_{2n}$. Найти

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{A_1B_1\cdot\ldots A_{2n}B_{2n}}{B_1A_2\cdot\ldots B_{2n}A_1}$$

4. График функции $y=x^4+ax^3+bx+c$ качается оси $OX$ только в двух точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$, причем $y(0)=4$, $y'(0)=8$. Найти $a,b,c$ и точки экстремума функции.
5. Доказать, что ортогональная проекция любого эллипсоида на любую плоскость есть эллипс.
6. Доказать, что координаты любой точки $M(x,y,z)$ кривой $x^2+y^2=4, y^2+z^2=4$ удовлетворяют неравенству $y^3-xz^2\le 8$. Найти все $(x,y,z)$, при которых достигается это равентсво.
7. Пусть для некоторых матриц $V,X$ размера $n\times n$ справедливо равенство $VX=2V+PV$, где у матрицы $P$ элемент $p_{11}=1$, а остальные равны $0$, и $\operatorrname{det}V\ne 0$. Имеет ли обратную матрица $C=X^2-5X+6E$, где $E$- едичная матрица?
8. Из уравнения $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(1+\sin x)\ldots (1+\sin (4n-3)x)-1}{\arctg{x}+\ldots +\arctg{nx}}=3$ найти $n$.
9. Пусть $f$- дважды дифференцируемая вещественная функция, удовлетворяющая уравнению

$$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x)$$

, где $g(x)\ge 0$ для любого $x\in\mathbb{R}$. Докажите, что $|f(x)|$- ограничена.
10. Сходится ли интеграл $\int\limits_{0}^{\infty}\sin x\sin (x^2)dx$.

(Оффтоп)

Где-то было. Помоему даже мой пост был.

11. Пусть $S$- линейное подпространство в вещественном пространстве $C[0,1], M>0$. Известно, что для любой функции $f\in S$ выполнено неравенство $\operatorname{max}_{x\in [0,1]}|f(x)|\le M\sqrt{\int\limits_{0}^{1}f^2(x)dx}$. Докажите, что $\operatorname{dim}S\le M^2$.
12. Пусть $n\in\mathbb{N}$, $n\ge 3$, $\theta =\frac{2\pi}{n}$. Вычислить определитель матрицы $n\times n$ матрицы $E+A$, где $A=\{a_{kj}\}$, $a_{kj}=\cos (j\theta +k\theta)$, для всех $j,k$.

[temp03]

xmaister в сообщении #560285 писал(а):

2. Найти расстояние между графиками функций $y=e^{2012x}$ и $y=\frac1{2012}\ln x$.

По МНК, то бишь $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(f_1(x_1)-f_2(x_2))^2}\to\min$. И производную этой гадости.

[xmaister]

temp03 в сообщении #560287 писал(а):

По МНК, то бишь $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(f_1(x_1)-f_2(x_2))^2}\to\min$. И производную этой гадости.

Эти функции обратные. Можно проще вроде бы.

[ewert]

temp03 в сообщении #560287 писал(а):

xmaister в сообщении #560285 писал(а):

2. Найти расстояние между графиками функций $y=e^{2012x}$ и $y=\frac1{2012}\ln x$.

По МНК, то бишь $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(f_1(x_1)-f_2(x_2))^2}\to\min$. И производную этой гадости.

Будем проще: надо найти расстояние между графиками $y=e^{2012x}$ и $y=x$. Т.е. просто решить систему уравнений $e^{2012x}=x+\alpha$, $2012\,e^{2012x}=1$/

[temp03]

Ну я для любых функций написал. Ну давайте проще.

[xmaister]

(Оффтоп)

temp03
, так в этом то и прикол что на 12 задач дали всего 4 часа....

[MrDindows]

xmaister в сообщении #560285 писал(а):

4. График функции $y=x^4+ax^3+bx+c$ качается оси $OX$ только в двух точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$, причем $y(0)=4$, $y'(0)=8$. Найти $a,b,c$ и точки экстремума функции.

$c=4$, $b=8$
$ x^4+ax^3+8x+4=(x-x_1)^2(x-x_2)^2$
$\begin{cases} -2x_1-2x_2=a\\ x_1^2+x_2^2+4x_1x_2=0\\ x_1 x_2(-2x_1-2x_2)=8\\ (x_1 x_2)^2=4\\ \end{cases}$
$a=-4,\: x_1=1-\sqrt{3}, \: x_2=1+\sqrt{3}$

[mihailm]

xmaister в сообщении #560285 писал(а):

Только что закончилась олимпиада Северо-Запада. Предлагаю порешать:
1... для любого $x\in\mathbb{R}$ функция $f(f(x))$ дифференцируема для любого $x\in\mathbb{R}$...

Хорошо сказано

[wallflower]

xmaister в сообщении #560285 писал(а):

1. Непрерывная на $\mathbb{R}$ функция такова, что для любого $x\in\mathbb{R}$ функция $f(f(x))$ дифференцируема для любого $x\in\mathbb{R}$. Следует ли отсюда, что $f(x)$- дифференцируема на $\mathbb{R}$?

$$f(x)=\begin{cases}-x,~x>0\\0,~x\le 0\end{cases}$$

[xmaister]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #560351 писал(а):

Хорошо сказано

А что Вам не нравится?

[mihailm]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #560408 писал(а):

mihailm в сообщении #560351 писал(а):

Хорошо сказано

А что Вам не нравится?

Не привычно чтоли

[wimag]

А кто может подсказать, где результаты найти можно будет?

[wallflower]

5. Если над сферой в $\mathbb R^3$ делать линейные преобразования, то над проекцией преобразования тоже будут линейные. А эллипс получается линейным преобразованием окружности.

Это слишком нестрого?

[MrDindows]

xmaister в сообщении #560285 писал(а):

6. Доказать, что координаты любой точки $M(x,y,z)$ кривой $x^2+y^2=4, y^2+z^2=4$ удовлетворяют неравенству $y^3-xz^2\le 8$. Найти все $(x,y,z)$, при которых достигается это равентсво.

$x=\pm z$

$y^3 \pm z^3\le 8$
Будем рассматривать случай $y^3+z^3 \le 8, \: y\ge 0, \: z\ge 0$
Из условия:
$y^2+z^2=4$
$(y+z)^2=4+2yz$
$yz=\frac{(y+z)^2}{2}-2$
$2 \le y+z \le 2\sqrt{2}$
$y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2)=(y+z)(6-\frac{(y+z)^2}{2})$
$\max{\left((y+z)(6-\frac{(y+z)^2}{2})\right)}=8$, при $y+z=2$, а значит $y=2, \ z=0$ или $y=0, \ z=2$
С учётом того, что рассматривали частный случай, множество точек: $ (0,2,0) \: (-2,0,2) \: (-2,0,-2). $

[mihiv]

9.Запишем уравнение в виде

$$\dfrac {d(f^2+(f')^2)}{2dx}=-xg(x)(f')^2$$

Из уравнения видим,что производная функции

$$U(x)=\frac 12(f^2(x)+f'^2(x))$$

неотрицательна для $x<0$ и неположительна для $x>0$,следовательно $U(x)\leqslant U(0)$ и $|f(x)|$ ограничен.