Пуассоновский процесс (прилет самолетов, число пассажиров)

[Nicole]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей.
Прибытие самолетов - Пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. Число пассажиров в пребывающем самолете - дискретная случайная величина $N$, принимающая значение 300 с вер. 0.4 и 400 с вер. 0.6. Число пассажиров $X$, остающихся в данном терминале спустя $t$ часов после прибытия самолета, равно $N\exp(-\theta t)$. Значения $\lambda$ и $\theta$ даны.
Требуется найти среднее число пассажиров в терминале и дисперсию.

Вот что я пока смогла придумать.
Среднее число пассажиров $Y$ - это математическое ожидание.
$EN=300*0.4+400*0.6=360$.
$EY=\int_{0}^{\infty} 360 \lambda \exp{(-\theta t)}dt =360\lambda/\theta$.

Это правильно? А с дисперсией как быть?

[PAV]

Это правильно. Можно провести такое рассуждение. Вы должны знать, что пуассоновский процесс прилета самолетов можно описать следующим образом: вся ось времени делится на малые интервалы длины $\Delta t$. В течение каждого интервала может либо не прибыть ни одного самолета (вероятность этого есть $1-\lambda\cdot\Delta t+o(\Delta t)$), либо прибыть один (вероятность $\lambda\cdot\Delta t+o(\Delta t)$), либо более одного (вероятность $o(\Delta t)$). Для разных интервалов события независимы. В пределе, устремляя длины отрезков к нулю, получается в точности пуассоновский процесс. При этом всеми событиями, вероятность которых есть $o(\Delta t)$, можно пренебречь, так как они дадут в итоговый результат бесконечно малый вклад.

Результат с математическим ожиданием получается так. Мы рассматриваем все отрезки $\Delta t$, предшествующие нашему моменту времени. Число людей, оставшихся к текущему времени в терминале, представляем в виде суммы слагаемых, где каждое слагаемое отвечает за всех тех, кто прибыл в какой-то один из рассматриваемых отрезков. Рассмотрим отрезок, отстоящий от текущего момента времени на $t$. С вероятностью $0.4\lambda\cdot\Delta t$ в этот отрезок прибывает самолет с 300 людьми, к текущему моменту в терминале останется $300\cdot e^{-\theta t}$. С вероятностью $0.6\lambda\cdot\Delta t$ будет 400 человек и вклад в текущий момент времени равен $400\cdot e^{-\theta t}$. Ну и с вероятностью $1-\lambda\cdot\Delta t$ самолета не будет и соответствующее слагаемое равно нулю.

Математическое ожидание этого слагаемого равно тогда $300\lambda\cdot\Delta t$. Мат. ожидание суммы равно сумме данных мат. ожиданий. Это интегральная сумма, которая в пределе при уменьшении к нулю $\Delta t$ дает ровно тот интеграл, который у Вас написан.

Ну и аналогично нужно поступить с дисперсией. Нужно посчитать дисперсию этого же слагаемого, оставляя только члены порядка $\Delta t$. Важно, что слагаемые независимы, поэтому дисперсия суммы будет равна сумме дисперсий. И получите также интеграл похожего вида.

[Nicole]

Спасибо Вам большое.
Что касается дисперсии, вот мои размышления.
DY=M($Y^2$)-$(MY)^2$
MY мы нашли. Найдем M(Y^2), т.е. среднее значение квадрата пассажиров в терминале.
Рассмотрим вклад отрезка $\Delta$t к моменту времени t.
С вероятностью 0.4$\lambda$$\Delta$t в этот отрезок прибывает самолет с 300 людьми, то есть квадрат равен 90000, и к текущему моменту в терминале останется 90000exp(-$\theta$t).
С вероятностью 0.6$\lambda$$\Delta$t в этот отрезок прибывает самолет с 400 людьми, то есть квадрат равен 160000, и к текущему моменту в терминале останется 160000exp(-$\theta$t).
C вероятностью 1-$\lambda$$\Delta$t самолета не будет.
Тогда M($Y^2$)=$\int_{0}^{\infty} (90000+160000) $\lambda$exp(-$\theta$t)dt$.
Правильно?

[PAV]

Нет, неправильно. К сожалению, квадрат суммы не равен сумме квадратов. Так что надо все-таки искать именно дисперсию отдельного слагаемого и эти дисперсии суммировать.

[Nicole]

Хорошо. Тогда получается, что на каждом отрезке ожидание квадрата людей равно 132000$\lambda$exp(-$\theta$t)$\Delta$t. Дисперсия на каждом отрезке равна этой же величине, так как оставляем члены порядка $\Delta$t.
Суммируя дисперсии по отрезкам, имеем
DY=$\int_{0}^{\infty} 132000$\lambda$exp(-$\theta$t)dt$.
Это ближе к истине? Только вот я не совсем поняла Ваш совет по поводу отбрасывания всего, кроме $\Delta$t. Мы это делаем из-за более быстрой сходимости к нулю этих членов?

[Nicole]

Я допустила ошибку в экспоненте. Должно быть exp(-2$\theta$t). И интеграл равен $\lambda$M($Y^2$)/(2$\theta$). Это верно?

У меня еще одна 'детская' задача под вопросом.
Алиса мечтает выбраться из кроличьей норы в прекрасный сад. В норе n дверей. За каждой дверью - вход в туннель, и в сад ведет только один туннель (тот, который скрывается за дверью №1). Дорога до сада при правильном выборе двери займет у Алисы $t_1$ минут. Если Алиса выйдет в i-ую дверь i=2, 3, ... ,n, то она опять попадет в нору, затратив на дорогу по туннелю $t_i$ минут. Каждый раз Алиса выбирает дверь случайным образом из числа тех, которые еще не были выбраны, до тех пор пока она не достигнет своей цели.
Обозначим N - число всех дверей, открытых Алисой, чтобы ее мечта осуществилась, $\tau_1$ - время, которое понадобится Алисе чтобы добраться до сада, и $\tau_i$ - время, затраченное с момента открытия i-ой двери до момента входа в сад, i=2, 3, ..., n.
Пусть $\tau_i при условии что N=k равно $\tau_i$(k), i=1, 2, ..., k; k=1, 2, ..., n.
Требуется найти P(N=k), k=1, 2, ..., n, и M[N];
выразить M[$\tau_i$(k)] через $t_1$, ..., $t_n$;
выразить M[$\tau_i$(k+1)] через M[$\tau_{i-1}$(k)];
найти M[$\tau_i$], i=1, ..., n.

Добавлено спустя 43 минуты 18 секунд:

Решение такое. P(N=k)=1/n (мне понятно, почему), M[N]=(1+2+...+n)/n=(n+1)/2.
M[$\tau$_i(k)]=$t_1$+$\frac {k-i} {n-1}$($t_2$+...+$t_n$).
M[$\tau$_i]=$t_1$+$\frac {n-i} {2(n-1)}$($t_2$+...+$t_n$).
Не подскажите, это правильно?
И как представить M[$\tau$_i(k+1)] через M[$\tau$_{i-1}(k)]?