Метод конечных элементов для ОДУ 4 порядка

[Nimza]

Я хочу решать задачу

$$ \left( \sigma^2(x) u(x)'' )'' = f(x), \;\;\; u(0)=u(1)=u''(0)=u''(1) = 0 $$

методом конечных элементов. Во всех пособиях которые я видел, приводятся примеры для уравнений второго порядка. Я попытался сделать почти то же самое с этим уравнением, но почему-то программа не работает (я проверяю на случае $\sigma(x) \equiv 1$). Помогите, пожалуйста, разобраться по шагам.

Я определяю сетку $0 = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = 1$, $x_k = hk$, $h = \frac{1}{n}$. Первый вопрос: правильно ли будет в качестве базисных функций использовать

$$ v_{k}(x) = \cos^2 \left( \frac{\pi (x-x_{k})}{2 h} \right) 1_{ \left\{ |x-x_{k}| \leqslant h \right\} }, \;\;\; k = 1,\ldots,n-1 $$

Или уже здесь я что-то сделал не так?

[мат-ламер]

Любопытно было бы нарисовать график четвёртой производной от базисной функции.

-- Пт апр 13, 2012 20:55:56 --

Ничего не вычисляя в уме кажется, что эта четвёртая производная в точке $x_k$ равна нулю, что не есть хорошо.

[Nimza]

Зачем нам четвёртая производная? Нам же и второй хватит. Вторая здесь $0$ вне $k$-го элемента, а на $k$-ом элементе это косинус, который в точке $x_{k}$ не обнуляется.

[мат-ламер]

Nimza в сообщении #559725 писал(а):

Зачем нам четвёртая производная?

Как я понял, необходимо решить уравнение с четвёртой производной. И четвёртая производная от базисной функции периодически обнуляется с нулями между узлами сетки (а не в узлах, как я ошибочно написал в предыдущем посту). И если мы возьмём произвольную линейную комбинацию базисных функций, у неё четвёртая производная будет обнуляться между узлов. А ведь нам надо, чтобы эта производная в каком-то смысле приближала функцию $f(x)$. Моё мнение (но я не спициалист в МКЭ), что этот базис плохо подходит конкретно к данной задаче. Возьмите в качестве базиса сплайн пятой степени. Тогда его четвёртая производная будет кусочно-линейная функция.

[ГАЗ-67]

В данном случае мы имеем граничные условия главного типа . Отсюда следуют требования к базисным функциям . Отсылаю к книге Марчука,Агошкова "Введение в проекционно-сеточные методы". Там всё подробно расписано.