Плотность распределения [Теория вероятностей]

[svv]

--mS-- в сообщении #559526 писал(а):

Давайте, я немного побуду ТС, тем более, что он уже давно только вопросы задаёт, а его действий при этом не видно. А в каких пределах надо интегрировать? А как проинтегрировать в этих пределах единицу?

--mS--, Вы даже этого не знаете! Срочно за учебники! Как же Вы будете принимать зачёты и экзамены у студентов?

Whitaker, может быть, Вы поможете восполнить пробелы?

[Whitaker]

$\int \limits_{-\infty}^{+\infty}p_{\xi,\eta}(x, y')dy'=\int \limits_{-\infty}^{0}p_{\xi,\eta}(x, y')dy'+\int \limits_{0}^{1}p_{\xi,\eta}(x, y')dy'+\int \limits_{1}^{+\infty}p_{\xi,\eta}(x, y')dy'$
Первый и третий интеграл равны нулю.
Получаем, что:
$\int \limits_{-\infty}^{+\infty}p_{\xi,\eta}(x, y')dy'=\int \limits_{0}^{1}p_{\xi,\eta}(x, y')dy'$
Теперь осталось вычислить последний интеграл.
Верно?

[svv]

Можно ли аккуратнее отделить кости (1) от жира (0)? Разбить на три интеграла чуть хитрее: чтобы первый и третий интегралы были чистый жир, второй -- только кости.

[Whitaker]

svv
извиняюсь, но я Вас вообще не понял что Вы имеет в виду.
Можно конкретнее?

[_hum_]

Whitaker, лучше через общий подход:

$$\int_X I_G \,\cdot\varphi = \int_G \,\varphi$$

для любых индикаторной функции $I_G = I_G(x)$ и функции $\varphi = \varphi(x)$ (в том числе для $\varphi \equiv 1$).
Поэтому в вашем случае лучше сначала записать соответствующий двойной интеграл, а потом, пользуясь уже известными вам из курса матанализа методами сведения кратного интеграла к повторным, его вычислить (чтобы заново не изобретать велосипед).

Ааа, нет, я уже и забыл, что вы же другой интеграл сейчас считаете - обычный. Тогда никаких кратных и повторных не нужно. Хотя, все равно можно воспользоваться указанным выше соотношением, если рассмотреть $X = (-\infty, +\infty)$ и попытаться представить ваш интеграл как интеграл от $I_{\big\{v \in \mathbb{R}:\,0\leqslant v \leqslant 1-\frac{x}{2}\big\}}$

[Whitaker]

_hum_
спасибо.. Я вот вычислил этот кратный интеграл и и у меня получилось, что он равен 1. Верно?
P.S. Извиняюсь, но еще один вопрос:
Как доказывается, что?

_hum_ в сообщении #559615 писал(а):

$$\int_X I_G \,\cdot\varphi = \int_G \,\varphi$$

[_hum_]

_hum_ в сообщении #559615 писал(а):

Ааа, нет, я уже и забыл, что вы же другой интеграл сейчас считаете - обычный. Тогда никаких кратных и повторных не нужно. Хотя, все равно можно воспользоваться указанным выше соотношением, если рассмотреть $X = (-\infty, +\infty)$ и попытаться представить ваш интеграл как интеграл от $I_{\big\{v \in \mathbb{R}:\,0\leqslant v \leqslant 1-\frac{x}{2}\big\}}$

[Whitaker]

Как доказывается, что?

_hum_ в сообщении #559615 писал(а):

$$\int_X I_G \,\cdot\varphi = \int_G \,\varphi$$

[_hum_]

Whitaker в сообщении #559620 писал(а):

Как доказывается, что?

_hum_ в сообщении #559615 писал(а):

$$\int_X I_G \,\cdot\varphi = \int_G \,\varphi$$

Это по определению, насколько я помню :)
Да и по смыслу же понятно - если вы интегрируете функцию, умноженную на индикаторную функцию, то эта индикаторная функция везде кроме своего множества "занулит значение функции", и значит, расчет интеграла по всей области интегрирования даст тот же результат, что и расчет только по множеству индикаторной функции.

[ewert]

$\int\limits_{X}=\int\limits_{G}+\int\limits_{X\setminus G}.$

Это не совсем по определению. Однако любая конструкция, претендующая на гордое звание интеграла, обязана быть аддитивной функцией множества.

[_hum_]

ewert в сообщении #559631 писал(а):

$\int\limits_{X}=\int\limits_{G}+\int\limits_{X\setminus G}.$

Это не совсем по определению. Однако любая конструкция, претендующая на гордое звание интеграла, обязана быть аддитивной функцией множества.

Конечно, имелся в виду интеграл Лебега, а не абстрактный функционал :)

[--mS--]

Whitaker в сообщении #559620 писал(а):

_hum_
спасибо.. Я вот вычислил этот кратный интеграл и и у меня получилось, что он равен 1. Верно?

Здесь нет никаких кратных интегралов.

(Оффтоп)

Призываю открытым текстом господ помощников остановиться, если мой первый призыв не дошел. Неужели вы не видите, что ТС не делает НИЧЕГО? Он уже два года решает задачи таким путём: говорит какую-нибудь ерунду, после чего его бросаются разубеждать, и диктуют следующий шаг. Дальше все повторяется, и так до тех пор, пока не доберутся до ответа. Только что мы функцию распределения Коши получали таким путём, теперь так же будем константу интегрировать.

[Toucan]

Позволю себе заострить внимание присутствующих на призыве --mS--, который она деликатно спрятала в Оффтоп:

--mS-- в сообщении #559645 писал(а):

Призываю открытым текстом господ помощников остановиться, если мой первый призыв не дошел. Неужели вы не видите, что ТС не делает НИЧЕГО? Он уже два года решает задачи таким путём: говорит какую-нибудь ерунду, после чего его бросаются разубеждать, и диктуют следующий шаг. Дальше все повторяется, и так до тех пор, пока не доберутся до ответа. Только что мы функцию распределения Коши получали таким путём, теперь так же будем константу интегрировать.

[_hum_]

2Toucan

(Оффтоп)

А, по-моему, пока никакого криминала не было. Видно, что человек старается понять, а не просто выклянчить решение (другое дело, что при отсутствии системных знаний это трудно сделать). А мэтры иногда забывают, как непросто осознать вначале ту или иную идею (особенно в ТВ), которая для них теперь кажется очевидной. Оттого и получается, что вроде бы дают подсказки, но при всем при этом не столько учат, сколько сами для себя решают задачу.

[--mS--]

(Оффтоп)

Да ведь проблема именно в отсутствии системных знаний. Какие тут идеи, до которых надо доходить, в этой пошлой задаче? Вона - даже как маргинальную плотность получать из совместной пришлось продиктовать, хотя на любом заборе эту формулу найти можно: достаточно только озаботиться чтением учебников, а не получением эклектических сведений из задач.
Более того: эта (именно ЭТА) задача относится к числу тех, в которых очень опасно пошагово довести студента до формального ответа, особенно вот таким интегрированием. Ответ тут - ни разу не самоцель. Да, конечно, должен студент функцию двух переменных при каждом фиксированном $x$ мочь по всем возможным $y$ проинтегрировать, но он должен уметь это делать походя, до и независимо от всякого тервера. А у нас за отсутствием навыков в матанализе это интегрирование поглотило целиком задачу. Знаете, когда-то в 90-х гг у нас в универе были хорошие первокурсники на физфаке. Когда им рисовалась эта задача (и эта область на плоскости, и требовалось найти плотности распределения координат), они обычно говорили: тут все плотности уже нарисованы, и ничего поэтому мы искать не будем. Увы, с тех пор я таких заявлений не слышала. Давайте, если нет возражений, попросим Whitaker'а сделать кое-что безусловно для его знаний полезное?

Whitaker, есть предложение:
1) Давайте, Вы нарисуете на плоскости переменных $(x,y)$ область, в которой данная совместная плотность равна единице, и скажете нам - что это за область (какая геометрическая фигура получилась)?
2) Как можно назвать распределение с такой плотностью, постоянной в некоторой области? Какой случайный эксперимент приводит к паре $(\xi,\,\eta)$ с такой плотностью?
3) Какие значения может принимать координата $\xi$ (грубо говоря, на каком наименьшем отрезке она лежит с единичной вероятностью)? Является ли её распределение равномерным на этом отрезке? Те же вопросы про $\eta$.

Это для начала, чтоб за деревьями показался лес. После правильных ответов можно продолжить. И плотности координат увидеть наконец.

А по поводу интеграла, который якобы получился единице, два намёка. Используйте ту же картинку на плоскости, что нарисовали в (1).
I) Возьмите $x=-3$. Вычислите, чему равно $p_\xi(-3)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}p_{\xi,\eta}(-3,\,y)\,dy$.
Если затрудняетесь определить, какую функцию нужно интегрировать, поставьте карандаш в точку $(-3,0)$ на плоскости, проведите через неё вертикальную прямую - вот по ней снизу доверху бежит игрек!
II) Возьмите $x=1$. Вычислите, чему равно $p_\xi(1)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}p_{\xi,\eta}(1,\,y)\,dy$.