Вопрос, есть такая система:
![$dx_{1}/dt=x_{1}(F_{1}-(x_{1}F_{1}+x_{2}F_{2})/S)$ $dx_{1}/dt=x_{1}(F_{1}-(x_{1}F_{1}+x_{2}F_{2})/S)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/a/84a8d71f932cf75f84a3175ef0f1ffd782.png)
![$dx_{2}/dt=x_{1}(F_{2}-(x_{1}F_{1}+x_{2}F_{2})/S)$ $dx_{2}/dt=x_{1}(F_{2}-(x_{1}F_{1}+x_{2}F_{2})/S)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/3/3136087c692bdf7824cab534dd95263082.png)
где
![$F_{1}=N-x_{1},$ $F_{1}=N-x_{1},$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/8/838eaf09be2a83dbb4ff2a6c88c9422782.png)
![$F_{2}=a_{1}x_{1}-x_{2},$ $F_{2}=a_{1}x_{1}-x_{2},$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/c/17c78e0d0ae24a84fa393bad0cb6e4b282.png)
![$a_{1}>0, N>0, S>0$ $a_{1}>0, N>0, S>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/c/19c0b19baa0127256bbfc971954cf79382.png)
Фазовый портрет на конечной области:
![Изображение](http://s018.radikal.ru/i525/1204/1d/391b472bc055.jpg)
Иследую бесконечность. Получил, что нету особенных точек на бесконечности. Можно ли утверждать, что на бесконечности имеем устойчивый цикл?
Иследование бесконечности:
Рассмотрим поведение траекторий на бесконечности. Выполним замену переменных:
![$x_{1}=1/z$ $x_{1}=1/z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/8/d28d76e0550a4b67e125a76bda6bac6e82.png)
![$x_{2}=u/z$ $x_{2}=u/z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/0/f201cbdcceb25de4fb77297f0e0be36182.png)
![$dt=d\tau/z$ $dt=d\tau/z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/9/d99645164bf1ea9c11bbfcae7ba326d782.png)
Получим
![$\dot{u}=-u^2+u(a_{1}+1)-Nuz$ $\dot{u}=-u^2+u(a_{1}+1)-Nuz$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/f/e1f845f2e8215050efa478b42d18f88682.png)
![$\dot{z}=-(u^2-a_{1}u+NSz^2-(N+S)z+1)/S$ $\dot{z}=-(u^2-a_{1}u+NSz^2-(N+S)z+1)/S$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/f/7ef28f3d81ffcdb2340ddf272519899a82.png)
Найдем особенные точки на бесконечности, для этого возьмем
![$z=0$ $z=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/4/cf4b72df1e2b52767fb792da8da4398682.png)
:
![$\begin{cases}
-u^2+a_{1}u-1=0,\\
u(a_{1}+1)-u^2=0
\end{cases} \Rightarrow u \in \lbrash \oslash \rbrash$ $\begin{cases}
-u^2+a_{1}u-1=0,\\
u(a_{1}+1)-u^2=0
\end{cases} \Rightarrow u \in \lbrash \oslash \rbrash$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/b/50b5c31aa8b2fe07f8e19bc3925d432a82.png)
Примечание.
![$\oslash $ $\oslash $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/c/4fc1469fbaaa5bdf2077fc1eb6e4566982.png)
- пустое множество.
Выполним замену переменных:
![$x_{1}=v/z$ $x_{1}=v/z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/3/ed3557a3a4b7607e0d4927c7615caed182.png)
![$x_{2}=1/z$ $x_{2}=1/z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/4/a04230af157476fb2bc6fc56f142f42f82.png)
![$dt=d\tau/z$ $dt=d\tau/z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/9/d99645164bf1ea9c11bbfcae7ba326d782.png)
Получим
![$\dot{v}=v-v^2(a_{1}+1)+Nvz$ $\dot{v}=v-v^2(a_{1}+1)+Nvz$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/f/79fb1af0368c603c3dbe72db06b6960c82.png)
![$\dot{z}=-(v^2-a_{1}-z(S+v(N-Sa_{1}))+1)/S$ $\dot{z}=-(v^2-a_{1}-z(S+v(N-Sa_{1}))+1)/S$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/c/83c9da76b6dd9f2c24229e38d182920182.png)
Точка (0,0) не есть корнем системы:
![$\begin{cases}
v-v^2(a_{1}+1)+Nvz=0,\\
v^2-a_{1}-z(S+v(N-Sa_{1}))+1=0
\end{cases} $ $\begin{cases}
v-v^2(a_{1}+1)+Nvz=0,\\
v^2-a_{1}-z(S+v(N-Sa_{1}))+1=0
\end{cases} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/a/23a9547754b70fbcfce24a73672c0bb482.png)
Таким образом, на бесконечности нету особенных точек.
Возможно я здесь ошибся?