Иследование диф системы на бесконечности

[ninasus]

Вопрос, есть такая система:
$dx_{1}/dt=x_{1}(F_{1}-(x_{1}F_{1}+x_{2}F_{2})/S)$
$dx_{2}/dt=x_{1}(F_{2}-(x_{1}F_{1}+x_{2}F_{2})/S)$
где
$F_{1}=N-x_{1},$
$F_{2}=a_{1}x_{1}-x_{2},$
$a_{1}>0, N>0, S>0$



Фазовый портрет на конечной области:


Иследую бесконечность. Получил, что нету особенных точек на бесконечности. Можно ли утверждать, что на бесконечности имеем устойчивый цикл?
Иследование бесконечности:
Рассмотрим поведение траекторий на бесконечности. Выполним замену переменных:
$x_{1}=1/z$
$x_{2}=u/z$
$dt=d\tau/z$
Получим
$\dot{u}=-u^2+u(a_{1}+1)-Nuz$
$\dot{z}=-(u^2-a_{1}u+NSz^2-(N+S)z+1)/S$
Найдем особенные точки на бесконечности, для этого возьмем $z=0$:
$\begin{cases} -u^2+a_{1}u-1=0,\\ u(a_{1}+1)-u^2=0 \end{cases} \Rightarrow u \in \lbrash \oslash \rbrash$
Примечание. $\oslash $ - пустое множество.
Выполним замену переменных:
$x_{1}=v/z$
$x_{2}=1/z$
$dt=d\tau/z$
Получим
$\dot{v}=v-v^2(a_{1}+1)+Nvz$
$\dot{z}=-(v^2-a_{1}-z(S+v(N-Sa_{1}))+1)/S$
Точка (0,0) не есть корнем системы:
$\begin{cases} v-v^2(a_{1}+1)+Nvz=0,\\ v^2-a_{1}-z(S+v(N-Sa_{1}))+1=0 \end{cases} $
Таким образом, на бесконечности нету особенных точек.

Возможно я здесь ошибся?

[Oleg Zubelevich]

У Вас картинка нарисована так как-будто система гамильтонова

-- Чт апр 12, 2012 12:44:24 --

ninasus в сообщении #558919 писал(а):

Бесплатные объявления Украины

а вот это [censored] обязательно всем впаривать?

[Toucan]

Oleg Zubelevich, замечание за сквернословие и обсуждение подписей участников в тематическом разделе.

[ninasus]

Oleg Zubelevich, за ответ по теме - спасибо. Но по теме как бы и не получено ответа.

За критику подписи - я никого не заставляю заходить и смотреть. Кому интересно тот, зайдет.

Буду признательный тому, кто посмотрит мое исследование бесконечности. Может там ошибка?

И еще один вопрос: если все траектории из некоторой области уходят в бесконечность, должна ли на бесконечности быть устойчивая точка?

[scwec]

У меня вопрос к Oleg Zubelevich. Откуда гамильтоновость на картинке? Из особой точки на вертикальной оси все траектории выходят.
Дивергенция больше 0 в ее окрестности. (Уравнения даже не смотрел). Что имелось в виду?

[Toucan]

ninasus, Ваша тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы (с первой и третьей картинок) в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

А вторую картинку (с траекториями) лучше переложите на какой-нибудь другой сайт: Ваш adsbox.com.ua блокируется плагином AdBlock (весьма распространенным).

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Вернул.

[ninasus]

Народ посмотрите проблему, очень важно

[bot]

(Оффтоп)

ninasus в сообщении #560980 писал(а):

Бесплатные объявления Украины

А я вот тоже считаю это [censored] подписью. Прошу прощения, что не могу ничего сказать по существу.