Призма в сфере

[AKM]

Keter в сообщении #559342 писал(а):

А поскольку в данную сферу можно вписать только один параллелепипед данного объёма,

Уточню:
В неё можно вписать кучу разных параллелепипедов объёмом 6.
В неё можно вписать кучу разных параллелепипедов объёмом 0.
В неё можно вписать кучу разных параллелепипедов объёмом 7.999.
Но в неё можно вписать единственный параллелепипед объёмом 8.

[Keter]

Алексей К. в сообщении #559345 писал(а):

Это не "выходит"; это очевидный фактик, безотносительно к данной задаче.

Вы всё время куда-то не туда думаете. Неравенства какие-то...

Ну взяли окружность, прямоугольнички вписываем разные...
--- Какой из них самый большой?
--- Квадратный, очевидно!
--- Может, кому и очевидно, а как доказать?

Ну, взяли сферу... Призмочки прямоугольные вписываем...

Коллеги, может у кого получше получится подсказать товарищу? Что-то я не могу его врубить...
Погуляю.

-- 12 апр 2012, 17:43:55 --

Keter в сообщении #559342 писал(а):

А поскольку в данную сферу можно вписать только один параллелепипед данного объёма,

Не верю в это: там удлинили, тут укоротили, получили такой же объём...
Я имел в виду обычную задачу на максимум-минимум.

-- 12 апр 2012, 17:46:55 --

И когда разберёмся, не забыть бы вернуться к тому страшному делению... Смайлик для ужаса какой надо выбирать?

Деление... Это

Я не имею понятия о задачах на максимум-минимум.
Я понимаю о чём Вы говорите. Просто первый раз с такой задачей сталкиваюсь и не могу правильно выразить свои мысли.

Я понял, что если у данного параллелепипеда объём 8, то он является кубом, а куб можно вписать единственный в сферу. И вроде бы я доказал, что П является кубом. Он будет им являться если будет выполняться равенство

$V_{paral} / V_{spher} = 2\sqrt{3} / 3 \pi$

-- 12.04.2012, 17:19 --

А Это отношение я получил, решив задачу: найти отношение объёма куба к объёму шара.

-- 12.04.2012, 17:25 --

Т. е. принял за сторону куба $a$. Диагональ основания куба $a \sqrt2$. Радиус $R=\frac{a\sqrt3}{2}$

Объём куба $V_k=a^3=\frac{8R^3}{3\sqrt3}$

Объём шара $V_s=4/3 \pi R^3$

$\frac{V_k}{V_s}=\frac{2\sqrt3}{3\pi}$

[Алексей К.]

Keter в сообщении #559366 писал(а):

Я понял, что если у данного параллелепипеда объём 8, то он является кубом

По-моему, Вы поняли нечто иное:
"Если в данную сферу вписать куб, то его объём будет 8".
Согласитесь --- это совсем другое утверждение.

Кто Вам сказал, что куб --- единственный вариант призмочки с таким объёмом? (А, вижу: AKM сказал. Ваш преп теоремы акаэма наверняка не знает)
Почему Вы уверены, что я не смогу подобрать призму-но-не-куб с таким же объёмом?
Вы перебрали все возможные варианты? За такое короткое время?
Или Вы всё же откопали неравенство, которое нам это докажет?

-- 12 апр 2012, 19:30:54 --

AKM в сообщении #559358 писал(а):

В неё можно вписать кучу разных параллелепипедов объёмом 7.999.
Но в неё можно вписать единственный параллелепипед объёмом 8.

-- 12 апр 2012, 19:50:42 --

Keter в сообщении #559366 писал(а):

И вроде бы я доказал, что П является кубом. Он будет им являться если будет выполняться равенство
$\frac{V_k}{V_s}=\frac{2\sqrt3}{3\pi}$

Поймите, это отношение действительно верно для любого куба, вписанного в сферу. Это тривиальная школьная задачка. Но у меня в правом кармане лежит призма-но-не-куб, такого же объёма, 8, и тоже вписывается в эту сферу. В левом, кстати, цилиндрик, тоже 8, и тоже вписывается. Для всех их выполнено это отношение!

Докажите, что про правый карман я наврал: не бывает такой (прямоугольной) призмы! (А цилиндр, кстати, бывает)

Поймите для начала необоснованность Ваших имеющихся доказательств.

[Keter]

Цитата:

Докажите, что про правый карман я наврал

Не понимаю как это сделать.

[Алексей К.]

Здесь мне придётся побороть лень и расписать Вам более простой случай --- прямоугольник, вписанный в окружность. А именно доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат. И эта наибольшая площадь равна... И только тогда мы имеем право сделать вывод, что, ежели нам задан прямоугольник такой именно площади, то он --- тот самый квадрат. А уж вписанный квадрат действительно единственен, это ежу понятно.

Но для начала расскажите, как Вы напоролись на эту задачу?
Это школьный курс, "задача повышенной сложности?" Какой класс?
Или ВУЗ, матанализ? Какая тема обозначена?

Т.е. я хотел бы обойтись без производных, простенькими неравенствами или рассуждениями о симметрии, а что-то они в голову не идут... И никто из умных и отзывчивых их не подсказывает (придётся, наверное, лично вызывать).
А может, как раз производные-то и требуются.

[Keter]

Это вроде олимпиада за 10 класс в России.

[venco]

Алексей К. в сообщении #559410 писал(а):

Вам более простой случай --- прямоугольник, вписанный в окружность. А именно доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат. И эта наибольшая площадь равна... И только тогда мы имеем право сделать вывод, что, ежели нам задан прямоугольник такой именно площади, то он --- тот самый квадрат.

Строго говоря, этого недостаточно. А вдруг есть прямоугольник не-квадрат с такой-же (максимальной) площадью? ;)

[Keter]

venco в сообщении #559432 писал(а):

Алексей К. в сообщении #559410 писал(а):

Вам более простой случай --- прямоугольник, вписанный в окружность. А именно доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат. И эта наибольшая площадь равна... И только тогда мы имеем право сделать вывод, что, ежели нам задан прямоугольник такой именно площади, то он --- тот самый квадрат.

Строго говоря, этого недостаточно. А вдруг есть прямоугольник не-квадрат с такой-же (максимальной) площадью? ;)

В это всё и упирается, ведь не сказано же, что стороны выражены целыми числами.

Но я всё таки не понял, почему же зная равенство с отношением объёмов куба к сфере, мы не можем утверждать после нахождения объёма куба( то есть 8), что данный нам параллелепипед - куб? Ведь формула только для куба, вписанного в сферу.

-- 12.04.2012, 20:28 --

То есть в данную сферу мОжно вписать параллелепипед объёмом 8, но он будет являться кубом, т. е. единственным с таким объёмом для данной сферы.

[Алексей К.]

venco в сообщении #559432 писал(а):

Строго говоря, этого недостаточно. А вдруг есть прямоугольник не-квадрат с такой-же (максимальной) площадью?

venco,
ежели Вы намекаете на единственность "квадратного" экстремума, то да, я собирался на это указать в процессе доказательства, но сейчас не стал акцентировать. Ибо какие-то более толстые вещи объяснить не получается.

venco в сообщении #559432 писал(а):

Строго говоря...

Говоря строго, мы должны были бы сначала убрать путаницу с призмой (в заголовке), параллелепипедом (в формулировке условия) и доказательно остановиться на прямоугольном параллелепипеде (так, кажется, эта штука официально называется). Я и на это пока не стал указывать. Это, похоже, автору понятно, а какие-то более толстые вещи объяснить не получается.

Может, с утра получится...

-- 12 апр 2012, 22:50:26 --

Keter в сообщении #559435 писал(а):

В это всё и упирается, ведь не сказано же, что стороны выражены целыми числами.

Keter, целочисленности здесь нет, она совсем ни при чём, вопросы такие и не возникают.

-- 12 апр 2012, 22:53:32 --

Keter в сообщении #559435 писал(а):

Ведь формула только для куба, вписанного в сферу.

Да? Вы проверили все цилиндры, все остальные (прямоугольные) параллелепипеды (замучило это длинное слово!), все фигоиды, все эхинопсисы?

-- 12 апр 2012, 23:00:34 --

Keter в сообщении #559435 писал(а):

То есть в данную сферу мОжно вписать параллелепипед объёмом 8, но он будет являться кубом, т. е. единственным с таким объёмом для данной сферы.

Я не видел доказательства этого факта. Я видел проверку для куба, но я не видел проверку для всех остальных случаев, всех не-кубов.

[Алексей К.]

Или так.
Я вынимаю из правого кармана ППП со сторонами $a=1$, $b=\dfrac{\sqrt{21}-1}{2}$, $c=\dfrac{\sqrt{21}+1}{2}$ и говорю:
(а) он вписывается в нашу сферу;
(б) его объём равен 8.

Как Вы, Keter, будете проверять моё заявление?

[Keter]

Цитата:

Вы проверили все цилиндры, все фигоиды, все эхинопсисы?

Зачем?? Вписан параллелепипед!

Цитата:

Как Вы будете проверять моё заявление?

Пока что не знаю. Поможете.

[INGELRII]

Keter, вы вообще задачки на нахождение минимума\максимума величин при каких-то условиях хоть когда-то решали? Ну там:

Дан кусок проволоки. Надо согнуть его в виде прямоугольника так, чтобы площадь была наибольшей;

Дан кусок проволоки. Надо согнуть его в виде ромба так, чтобы площадь была наибольшей;

Есть канал в форме буквы Г. Найти максимальную длину баржи, которая может пройти через этот канал;

И все в таком роде. Решали когда-нибудь или вообще нет? Если нет, то не будет ли разумным сначала порешать простые задачки, а уж потом браться за всякие параллелепипеды, эллипсоиды, тессеракты?

Потому что до сих пор вы не совершили ни одного полезного действия в теме. Ни одной попытки, которая в принципе могла бы привести вас к результату. Какие-то отношения объема куба к объему шара (О Боже, зачем?), откуда-то выдуманная целочисленность (О Аллах, за что?), какое-то совершенно ужасающее деление каких-то неравенств (О Будда, как ты вообще такое позволяешь?)... Sad but true.

(Оффтоп)

Как вы делите неравенства - это отдельная тема. Такое деление использовать можно разве что в качестве оружия массового поражения. Написать на доске и показать врагу. Вражеские войска поголовно совершат харакири, ибо невозможно увидеть такое и остаться жить в этом жестоком мире.

[Алексей К.]

INGELRII в сообщении #559497 писал(а):

Keter, вы вообще задачки на нахождение минимума\максимума величин при каких-то условиях хоть когда-то решали?

Keter в сообщении #559366 писал(а):

Я не имею понятия о задачах на максимум-минимум.

Проблеммка здесь ещё и в том, что задача на максимум-минимум, да ещё и при доп. условии, здесь скрыта, завуалирована, и Keter её не видит.
Кагбэ причём тут какие-то максимумы-минимумы?
Возможно, он, прочитав условие, увидел обычную задачку по стереометрии --- "даны такие-то штучки, сосчитать такую-то штучку", и случайно взялся за то, что ему пока не под силу...

-- 13 апр 2012, 11:58:36 --

Алексей К. в сообщении #559444 писал(а):

Может, с утра получится...

Keter, если Вы хотите разобраться с этой задачкой (на вид простой, а на самом деле...), я могу предложить Вам следующее:

1. Поверить, что задача из пункта 2) имеет непосредственное отношение к теме.
2. Разобраться с более простой задачей:

"В заданную окружность радиуса $R$ вписать прямоугольник максимальной площади"

(можно взять, например, $R=\sqrt2$). Вроде я почти обещал расписать, но будет полезнее, если Вы сами это проделаете.
3. Если окажется, что она Вам не под силу, даже с нашей помощью, --- отложите это дело на попозже (сами сделаете вывод).

Мы ведь никуда не спешим?

[ewert]

Алексей К. в сообщении #559548 писал(а):

Разобраться с более простой задачей:
"В заданную окружность радиуса $R$ вписать прямоугольник максимальной площади"

Здесь ничего не надо считать. Надо просто вписать произвольный прямоугольник, зафиксировать две его противоположные вершины, а две остальных подвигать. Очевидно, что площади двух образовавшихся прямоугольных треугольников будут максимальны тогда и только тогда, когда эти треугольники равнобедренные, т.е. когда в совокупности они образуют квадрат.

Отсюда автоматически следует: если у вписанного в сферу прямоугольного параллелепипеда хотя бы два ребра различны, то его объём -- не максимален.

[gris]

Не знаю, было ли это уже в обсуждении, но намёки явно были.
У нас фиксирована сумма квадратов сторон, что необходимо и достаточно (вкупе с прямоугольностью) для вписания параллелепипеда. Для тех же квадратов можно выписать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Получим нестрогое неравенство для объёма, которое превращается в равенство только при равенстве ингредиентов. А числовая часть неравенства чудом совпадает с заданным объёмом. Получаем искомый куб.