Олимпиада ФУПМ (МФТИ) 2007

[Турбовеник]

Имеется 6 одинаковых монет с массами 1, 2, 3, 4, 5, 6 г. На монетах сделаны
надписи: «1», «2», «3», «4», «5», «6». За какое минимальное число взвешиваний на
чашечных весах без шкалы и без гирь можно наверняка определить, что надписи
сделаны без ошибок?

Дан тетраэдр SABC, в основании которой лежит равносторонний
треугольник ABC со стороной 1. Доказать, что
((SA)^2+1)^(0,5)+((SB)^2)^(0,5)+1+((SC)^2+1)^(0,5)?
вторую задачу свел к доказательству аналогичного неравенства для правильного треугольника, но доказать его не мсог.что делать?
как в первой доказать что тако-то способ - наилучший, и бьолее быстрых нет?

[neo66]

Турбовеник писал(а):

Дан тетраэдр SABC, в основании которой лежит равносторонний
треугольник ABC со стороной 1. Доказать, что
((SA)^2+1)^(0,5)+((SB)^2)^(0,5)+1+((SC)^2+1)^(0,5)?
вторую задачу свел к доказательству аналогичного неравенства для правильного треугольника, но доказать его не мсог.что делать?
как в первой доказать что тако-то способ - наилучший, и бьолее быстрых нет?

Непонятно, что надо доказать.

[RIP]

Здесь была написана чушь.

[heap]

1) Одного взвешивания мало. Это понятно. Т.к. после одного взвешивания обязательно найдутся хотя бы две монеты или невзвешенные или на одной чашке весов и без второго взвешивания не доказать, что на них цифры написаны не наоборот.
А 2-х взвешиваний достаточно: 1 + 2 + 3 = 6 и 6 + 1 < 3 + 5

[Турбовеник]

neo66 писал(а):

Турбовеник писал(а):

Дан тетраэдр SABC, в основании которой лежит равносторонний
треугольник ABC со стороной 1. Доказать, что
((SA)^2+1)^(0,5)+((SB)^2)^(0,5)+1+((SC)^2+1)^(0,5)?
вторую задачу свел к доказательству аналогичного неравенства для правильного треугольника, но доказать его не мсог.что делать?
как в первой доказать что тако-то способ - наилучший, и бьолее быстрых нет?

Непонятно, что надо доказать.

$\sqrt{(SA)^2+1}+$\sqrt{(SB)^2+1}+$\sqrt{(SC)^2+1}>2 $\sqrt{(3}

[neo66]

Турбовеник писал(а):

$\sqrt{(SA)^2+1}+$\sqrt{(SB)^2+1}+$\sqrt{(SC)^2+1}>2 $\sqrt{3}

Понятно, что оптимальное $S$ должно находится в плоскости треугольника. Далее имеем

$\sqrt{(SA)^2+1}+\sqrt{(SB)^2+1}+\sqrt{(SC)^2+1}\geq \sqrt{(SA+SB+SC)^2+3^2}\geq$
$\geq\sqrt{(FA+FB+FC)^2+3^2}=2\sqrt{3}$, где $F$-точка Ферма треугольника $ABC$. В нашем случае это точка пересечения медиан.

[Руст]

heap писал(а):

1) Одного взвешивания мало. Это понятно. Т.к. после одного взвешивания обязательно найдутся хотя бы две монеты или невзвешенные или на одной чашке весов и без второго взвешивания не доказать, что на них цифры написаны не наоборот.
А 2-х взвешиваний достаточно: 1 + 2 + 3 = 6 и 6 + 1 < 3 + 5

Лучше сразу сказать 5 взвешиваний мало. Так как одно взвешивание натаких весах дает только три ответа (больше, меньше, равно), а число сочетаний 6!>3^5. Так как возможно, что монеты не соответствуют своим надписям то равенство маловероятно. Если бы веса были не соизмеримы то взвешиваний требовалось бы не меньше 10. Но здесь веса заданы соизмеримыми и получение ответа равно может встречаться, соответственно ответ явно меньше 10.

[heap]

Руст писал(а):

Лучше сразу сказать 5 взвешиваний мало. Так как одно взвешивание натаких весах дает только три ответа (больше, меньше, равно), а число сочетаний 6!>3^5. Так как возможно, что монеты не соответствуют своим надписям то равенство маловероятно. Если бы веса были не соизмеримы то взвешиваний требовалось бы не меньше 10. Но здесь веса заданы соизмеримыми и получение ответа равно может встречаться, соответственно ответ явно меньше 10.

Требуется всего лишь ответить на вопрос все ли номера на монетах соответствуют их весам или не все, ничего больше не уточняя. А для этого достаточно двух взвешиваний.

[damenic]

вот еще одна с олимпиады: найти все непрерывные функции f(x), удовлетворяющих уравнению:
f(x)+2006x=89f(2007x)

[нг]

Турбовеник
Строгое замечание за повторное помещение задач идущей олимпиады.

От себя лично добавлю — «поведенье бегуна неспортивное»…

Тема временно закрыта до окончания олимпиады (1 апреля)

[нг]

Содержание темы восстановлено.

Добавлено спустя 1 час 21 минуту 19 секунд:

damenic писал(а):

вот еще одна с олимпиады: найти все непрерывные функции f(x), удовлетворяющих уравнению:
f(x)+2006x=89f(2007x)

См.