Призма в сфере

[Keter]

В сферу с радиусом $R = \sqrt{3}$ вписан параллелепипед, объём которого $V = 8.$ Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

Обозначим длину, ширину и высоту параллелепипеда соответственно $a, b, c$.

Диагональным сечением параллелепипеда будет прямоугольник со сторонами $c$ и $\sqrt{a^2+b^2}$ и диагональю $2\sqrt{3}$.

Имеем равенства:

$a^2+b^2+c^2 =12$ (1)
$S = 2(ab+bc+ac)$ (2) - площадь полной поверхности
$V = abc = 8$ - объём

Ещё из неравенства Коши можно получить, что
$\frac{a+b+c}{3} \geqslant 2$

Если сложить (1) и (2), то $12+S = (a+b+c)^2$

Пока что идей нет.

[Алексей К.]

Существует (и, полагаю, единственный) параллелепипед максимального объёма, вписанный в сферу. Если его объём окажется равным 8, то он (параллелепипед) нам известен.
Я эту гипотезу для данного случая не проверял, но решать начал бы с её проверки.

[Keter]

Каким образом проводить проверку?

[Алексей К.]

Ну задумайтесь: можно ли вообще в эту сферу вписать параллелепипед объёма 8? Ведь 100 --- наверняка нельзя. Где эта граница --- это можно, а это нельзя?

Формулируем и решаем вспомогательную задачу.

-- 12 апр 2012, 17:02:34 --

Если производные нарисуются --- Вы умеете с ними обращаться? Знаете, к чему они? Хотя, думаю, здесь и без них можно будет обойтись.

[Keter]

Почему нельзя?? Например это куб со стороной 2.

Получил еще несколько неравенств:

$a^2+b^2+c^2 \geqslant 12$
$ab+bc+ac \geqslant 12$
$S \geqslant 24$

[Алексей К.]

А 8.00000001 впишется?

[Keter]

Нет, 8,00000001 не впишется.

Разделим первое на второе неравенства и получим:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant 1$

[Алексей К.]

Ой, не уходите плиииз! Научите меня так ловко делить неравенства!

[Keter]

Бред с этими неравенствами получается((

-- 12.04.2012, 15:17 --

А каким способом можно проверить впишется или нет?

-- 12.04.2012, 15:17 --

И даже если проверим, ну впишется и дальше что?

[Алексей К.]

Keter в сообщении #559326 писал(а):

$a^2+b^2+c^2 \geqslant 12$
$ab+bc+ac \geqslant 12$

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}=\frac ab+\frac bc + \frac ca\:?\eqno\text{Да?}$$

-- 12 апр 2012, 17:19:04 --

Если мы докажем, что этот куб --- единственная возможность, то задача решена.

-- 12 апр 2012, 17:19:33 --

Про производные не ответили.

[Keter]

Производные знаю, но опыта работы с ними мало.

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #559325 писал(а):

Формулируем и решаем вспомогательную задачу.

Какой наибольший (по площади) параллелограмм можно вписать в окружность?
Какой наибольший (по объёму) параллелопипед можно вписать в сферу радиуса $R$?

[Keter]

Выходит, что отношение объёма куба к объёму сферы будет постоянно

$V_k / V = 2\sqrt{3} / 3 \pi$

-- 12.04.2012, 15:38 --

Объём данной сферы $V=4\sqrt3 \pi$

Значит объём вписанного куба равен 8. А поскольку в данную сферу можно вписать только один параллелепипед данного объёма, то заданный параллелепипед будет являться кубом.

[Алексей К.]

Это не "выходит"; это очевидный фактик, безотносительно к данной задаче.

Вы всё время куда-то не туда думаете. Неравенства какие-то...

Ну взяли окружность, прямоугольнички вписываем разные...
--- Какой из них самый большой?
--- Квадратный, очевидно!
--- Может, кому и очевидно, а как доказать?

Ну, взяли сферу... Призмочки прямоугольные вписываем...

Коллеги, может у кого получше получится подсказать товарищу? Что-то я не могу его врубить...
Погуляю.

-- 12 апр 2012, 17:43:55 --

Keter в сообщении #559342 писал(а):

А поскольку в данную сферу можно вписать только один параллелепипед данного объёма,

Не верю в это: там удлинили, тут укоротили, получили такой же объём...
Я имел в виду обычную задачу на максимум-минимум.

-- 12 апр 2012, 17:46:55 --

И когда разберёмся, не забыть бы вернуться к тому страшному делению... Смайлик для ужаса какой надо выбирать?

[Батороев]

Keter в сообщении #559332 писал(а):

Бред с этими неравенствами получается((

Можно попробовать рассчитать объем параллелепипеда, каждая из сторон которого больше исходных на 1, а затем уже для этого параллелепипеда снова использовать неравенство Коши. Вродь, должно получиться.