Шар и стенка

[Omega]

Помогите вот пожалуйста с такой задачей:
Идеально сферический резиновый шар радиусом $R$ врезается в гладкую стену под углом в $\pi/2$ с начальной скоростью $v_{0}$.Внешнее давление равно $p_{0}$ и изначально давление внутри шара равно $p$.На сколько при таком ударе сожмётся шар: найти $H$ (на рисунке $H$ это $x$).

$$E_{0}=\frac{mv_{0}^{2}}{2}=\Delta U=\frac{5(p_{2}V_{2}-pV_{0})}{2};m=\rho V_{0};V_{0}=\frac{4\pi R^{3}}{3};$$

$$V_{2}=\int\limits_{-R}^{R-H}\int\limits_{-\sqrt{R^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\int\limits_{-\sqrt{R^{2}-x^{2}-y{2}}}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}} 1 dzdydx=\frac{\pi ( H+R) (H-2R) ^{2}}{3}$$

$$ ( p(t)-p_{{0}})S(t)t =m ( v_{{0}}-v(t) ) $$

$$S=\pi(2RH(t)-H^{2}(t))$$

Из всего этого:

$$p(t)=p_{0}+\frac{m ( v_{{0}}-v(t) )}{\pi(2RH(t)-H^{2}(t))t}$$

Что дальше?

[Zai]

Возможно более простое решение можно получить на основе подхода, используемого в расчете амортизации при посадочном ударе летательного аппарата. Постройте зависимость площади контакта по смещению. При маломеняющемся давлении внутри шара, сила по смещению будет равна разности давлений, умноженной на площадь контакта. Интеграл силы по смещению даст работу, которая должна быть равна кинетической энергии.

[Omega]

Если учитывать, что $p(t) \approx const$ и что $R \gg H$,то

$$H_{max} \approx \sqrt{\frac{mv_{0}^{2}}{2 \pi R(p-p_{0})}}$$

Но все-таки как получить более точный ответ?

[Zai]

(Оффтоп)

К дню космонавтики. До программы "Шаттл", возвращаемые аппараты падали на море и было много связанных задач о взаимодействии оболочек с поверхностью. Как же они сейчас без Шаттлов будут возвращать космонавтов.

Да малость смещения вы можите проинтегрировать точно. Возрастание давления тоже можно проинтегрировать - возможно только численно. А как вы учтете колебания мембраны. Адиабатическое сжатие газа тоже под сомнением, как и изотермическое. Если это у Вас аэростат, то необходимо учитывать присоединенные массы присоединеннго внешнего воздуха, да и внутри будут заметные колебания давления.

[m_sb]

Посмотрите решение контактной задачи Герца. решение приведено в 7 томе ЛЛ

[Omega]

"...в 7 томе ЛЛ." - это что?

[m_sb]

Omega в сообщении #559527 писал(а):

"...в 7 томе ЛЛ." - это что?

Ландау и Лифшиц. Параграф 9, соприкосновение твердых тел. В вашей задаче шар упруго деформируем, плоскость можно считать абсолютно жесткой. Так что решение из книги можно использовать.

ПС Еще раз перечитал условие задачи. Там речь идет о давлении. Значит дело имеете не с резиновым шаром, а с тонкой оболочкой. Ну это, конечно, задача попроще.
В вашем решении для такой задачи уже все есть из закона сохранения энергии.

ППС Проверьте условие задачи. Если предполагалось, что массой оболочки можно пренебречь по сравнению с массой газа - это одна задача (тогда нужна температура). Если масса оболочки не равна нулю и не задана, задача становится неопределенной.

[Omega]

Масса всего шара: оболочки и воздуха внутри неё равна $m$.
И пусть температура всего (оболочки,воздуха внутри неё, стены и окр. среды ) в начале равна $T_{0}$, если она конечно понадобится.Да, ещё также даны модули упругости: шара - $E_{1}$,стены - $E_{2}$ и коэффициенты Пуассона шара - $\sigma_{1}$,стены - $\sigma_{2}$.

[m_sb]

Omega в сообщении #559539 писал(а):

Масса всего шара: оболочки и воздуха внутри неё равна $m$.
И пусть температура всего (оболочки,воздуха внутри неё, стены и окр. среды ) в начале равна $T_{0}$, если она конечно понадобится.Да, ещё также даны модули упругости: шара - $E_{1}$,стены - $E_{2}$ и коэффициенты Пуассона шара - $\sigma_{1}$,стены - $\sigma_{2}$.

Так это Вы сами задачу составляете?
Если сами, то можете из этой задачки сделать три.
1.Про воздушный шарик с массой воздуха m и пренебрежимо малой массой оболочки. Ее Вы уже решили- кинетическая энергия перешла во внутреннюю энергию газа. Процесс можно считать адиабатическим, поскольку удар непродолжителен по времени.
2.Про воздушный шарик с воздухом массой m1 и массой тонкой оболочки m2. Решение посложнее, если часть исходной кинетической энергии перейдет в энергию упругой деформации оболочки.
3.Задачка про сплошной резиновый шарик, ударяющийся о жесткую стенку. Это задача Герца.