Задача Коши для ДУРЧП

[eugrita]

Смею предположить, что многие изучавшие как обыкновенные дифф. уравн. так и дифф.уравн. в частных производных (ДУРЧП) конечно сталкивались с понятием «задача Коши» но только не на примерах ДУРЧП. Этой цели и посвящен топик. Вот выдержка из
[url]ru.m.wikipedia.org/.../Дифференциальное_уравнение_в_частных_[/url]
«Хотя ответ на вопрос о существов и единств решения обыкн дифференц уравн имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара-Линделёфа), для уравн в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), кот утверждает, что задача Коши для любого уравн в частных производных, аналитического относит неизвестных функций и их производных имеет единств аналитич решение[2]. Тем не менее, существуют примеры линейных уравн в частных производных, коэфф которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.
Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n) для уравнения Лапласа:
$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$
с начальными условиями:
$u(x,0)=0,\frac{\partial u}{\partial y}(x,0)=\frac{sinnx}{n}$
где n — целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является
$u(x,y)=\frac{shnysinnx}{n^2}$
Решение стремится к бесконеч, если nx не кратно для любого ненулев знач y. Задача Коши для уравн Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.»
Собственно вопросов для обсуждения у меня как минимум 2
1)как видно из приведенного примера имеет смысл говорить о математической постановке задачи Коши, в частности для уравнения Лапласа. Ну а имеют ли физический смысл эти постановки?
Так типовая область применения уравн Лапласа – это электростатика, механика (кручение стержня) – там похоже без граничных условий никак не обойтись

2)для каких классов ДУРЧП имеет смысл говорить вообще о задаче Коши?
Вот цитата из http://www.math4you.ru/theory/DifEq/DiffEqLin4/
«в общем случае уравнение в часnных производных может не иметь общего решения, зависящего от конечного набора функций или постоянных параметров. Уравнения в частных производных первого порядка обладают общим решением, зависящим от одной произвольной функции. Задача интегрирования уравнения в частных производных первого порядка сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.»

[Oleg Zubelevich]

eugrita в сообщении #558803 писал(а):

)для каких классов ДУРЧП имеет смысл говорить вообще о задаче Коши?

под задачей Коши обычно понимают следующее

$$u_t=f(t,u),\quad u\mid_{t=0}=\hat u$$

где $u$ элемент некоторого линейного пространства, а $f$ отображение, нелинейное, вообще говоря

-- Вт апр 10, 2012 21:06:48 --

eugrita в сообщении #558803 писал(а):

Хотя ответ на вопрос о существов и единств решения обыкн дифференц уравн имеет вполне исчерпывающий ответ

смешной опус

[eugrita]

Да, это классическое определение. А попробуйте подогнать к нему то же уравнение Пуассона
Можно конечно сделать замены частных производных как в случае ОДУ
$v=\frac{\partial u}{\partial x}$ ,$w=\frac{\partial u}{\partial y}$
и перейти к вектору [u v w] но линейного дифура не получите

[Vince Diesel]

Тем для обсуждения что-то не видно. Физический смысл да, имеют. Найдите определение корректной задачи по Адамару. Задача Коши для уравнения Лапласа тоже может быть корректно поставлена при соответсвующем выборе пространств. Такие вопросы давно изучаются.

eugrita в сообщении #558803 писал(а):

2)для каких классов ДУРЧП имеет смысл говорить вообще о задаче Коши?

В приведенной вами ссылке приводится постановка задачи Коши

Цитата:

в случае одного уравнения $m$-ого порядка, разрешенного относительно одной из старших производных, вида...

Пример в исходном посте ему удовлетворяет. А "для каких классов", ну, опять же, в приведенной цитате упомянута теорма Коши-Ковалевской. Задача Коши для уравнение Лапласа ей удовлетворяет. Так что локально решение существует. А в цитаете говорится о решениях уравнения, а не задачи Коши. То есть получается, что в исходном посте все в кучу свалено, локальная разрешимость уравнений, задачи Коши (а глобальная глобальная должна обсуждаться отдельно), корректность по Адамару... Все это разные вопросы, и каждому посвящен вагон исследований.

[eugrita]

Ну хорошо. Признаю я ставил вопрос недостаточно ознакомившись с результатами исследований.
Но в таком же положении и многие студенты, которым читают уравн. матем. физики.
Вопрос сводится тогда, как правильно преподавать это для всех.
Попробуем еще раз.
1)с т.зр. математики Есть теорема Ковалевской о локальной единственности решения системы дифф.ур. в нормальной форме -разрешенных относительно своей старшей k-производной от n-переменных
2)с точки зрения физических моделей (здравого смысла) есть определенные 2-мерные и 3-мерные задачи заданные как правило в ограниченной области, например задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона в круге или прямоугольнике. Да, они - корректные. Ну а какая тогда польза от этой самой нормальной формы для эллиптических и гиперболических задач (к которым сводятся многие задачи физики)? Уравнение Лапласа не является уравнением в нормальной форме, значит на него результаты теор.Ковалевской не распостраняются?
Где эти некорректные задачи в физике? Ну ссылаются на т.н. обратную задачу диффузии
нахождении предыдущего распределения температуры по конечным данным .
Тогда может быть при первом (для многих и последнем) знакомстве с этими вопросами вообще не заморачивать голову вопросами корректности, единственности? Т.е знакомить с конкретными примерами эллиптических, гиперболических уравнений, доказывать или формулировать корректность соответствующих задач независимо от теор.Ковалевской
Например, в нашем ВУЗе есть практика по численным методам типа
решить численно уравнение Пуассона на прямоугольнике при граничных условиях на сторонах типа парабол ,т.е. $u(-a,y)=u(a,y)=cy(b-y),u(x,-b)=u(x,b)=dx(a-x) $
Ну научится он это решать и ...всё?
А покажите ему пример этой самой нормальной системы дифф уравнений описывающей физическую задачу хотя бы

[Vince Diesel]

eugrita в сообщении #559185 писал(а):

Тогда может быть при первом (для многих и последнем) знакомстве с этими вопросами вообще не заморачивать голову вопросами корректности, единственности?

Как раз таки стоит. Предполагается, что в вузе готовят специалистов, а не вычислителей. Главное же не рецепты решений отдельных задач, а качественное понимание явлений. Существование, единственность, устойчивость как раз такими являются. Важными для приложений к тому же. Идеология, идущая еще от ОДУ, что часто решения явно выписать нельзя, но даже не решая уравнение, можно кое-что сказать...

eugrita в сообщении #559185 писал(а):

А покажите ему пример этой самой нормальной системы дифф уравнений описывающей физическую задачу хотя бы

Задча Коши для волнового уравнения хотя бы. Для уравнения Лапласа она тоже вполне физическая, хоть и м.б. некорректной.

В элииптических и параболических уравнениях свои методы и результаты, в гиперболических свои... А теорема Коши-Ковалевской это один из немногих общих результатов о разрешимости, не зависит от типа уравнения. В этом ее значение. В курсе УРЧП в том числе. Может показаться, что раз типа уравнений рассматривается всего три, то можно изучать их по очереди и все. Но это так курс построен. Классификация по типу в точке для уравнений второго порядка. А если в некоторых точках уравнение эллиптическое, а в некоторых гиперболическое? Подобные уравнения тоже встречаются в приложениях. А для уравнений высокого порядка такая простая классификация даже в точке не получится. Так что общие результаты *для любых систем* весьма ценны.

[eugrita]

Спасибо. Кстати по волновому уравнению мне не дает покоя одна статья - посмотрите и выскажите мнение. http://n-t.ru/tp/ns/vu.htm
С одной стороны при рассмотрении волнового уравнения в форме з-чи Коши c нач.усл.
$u(t)|_{t=0}=\varphi(x),\frac{\partial u} {\partial t}|_{t=0}=\psi(x)$
аккуратно доказываются свойства-теоремы:
из них 3)4)условие существования и единственности решения при определенной гладкости $\varphi(x),\psi(x)$
5)непрерывная зависимость решения от нач условий
--------------------------------------------------------------
с другой стороны эта статья, о нарушении единственности решения...

[Oleg Zubelevich]

eugrita в сообщении #559437 писал(а):

http://n-t.ru/tp/ns/vu.htm

функция $f$ не определена на множестве $\{|x|<1,t>\pi/a\}\cup\{x>1,0<t<\pi/a\}$
Формула (5) не имеет смысла.

Ну и естественно в анамнезе: "Группа «Анализ» не ставит своей специальной задачей выдвижение каких-либо гипотез. Она четко понимает, что строить новую науку на гнилом основании – авантюризм и безответственность. Главная цель – очистить физические теории от внутренних противоречий, математических, физических и гносеологических ошибок, чтобы создать платформу для новых исследований." http://n-t.ru/ac/iga/

[Vince Diesel]

В формуле (5) функция $v$ тождественно равна нулю, и фраза "Мы видим, что второе решение существует и отлично от нуля при $t > 0$" это не доказательство. Равенство нулю гарантируется как раз теоремой единственности. По существу же там просто выписано (три последних слагаемых в правой части) представление функции $f$ виде суммы трех потенциалов: простого слоя, двойного слоя и объемного. Для уравнения Лапласа такое представление есть, например, здесь, формула (2).