помогите понять т Геделя о неполноте

[Joker_vD]

Еще, помнится, Смаллиан теорему Геделя популяризировал в нескольких книжках. Точно знаю про "Как же называется эта книга" и "Cantor, Satan and Infinity".

[kefi]

2 Sonic86 > Усе - запутали. Выпишите, плз, с учетом Ваших замечаний на мои непонималки в этой теме полностью теорему, что Вы имели ввиду и Ваши пояснения.
PS/. Да , эту книжку тоже скачал, еще не читал...

[Maslov]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #558757 писал(а):

Еще, помнится, Смаллиан теорему Геделя популяризировал в нескольких книжках.

А еще Доксиадис в книжке "Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха" Там этот самый дядюшка Петрос, узнав про теорему о неполноте, очень переживал: вдруг проблема Гольдбаха -- это как раз и есть одно из истинных, но не выводимых утверждений теории чисел.

[Sonic86]

kefi в сообщении #558759 писал(а):

2 Sonic86 > Усе - запутали. Выпишите, плз, с учетом Ваших замечаний на мои непонималки в этой теме полностью теорему, что Вы имели ввиду и Ваши пояснения.

Ой, я там на 1-й странице выписал как мог Гляньте. Надеюсь, общее представление появится.

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #558779 писал(а):

А еще Доксиадис в книжке "Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха" Там этот самый дядюшка Петрос, узнав про теорему о неполноте, очень переживал: вдруг проблема Гольдбаха -- это как раз и есть одно из истинных, но не выводимых утверждений теории чисел.

Прочитал. Страшноватая немного книга...

[kefi]

Я не знаю, почему мою первую формулировку правят все время - я же привел ссылку в первом посте [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гёделя_о_неполноте]здесь люди тоже так понимают[/url] первую теорему :
1. Для любой непротиворечивой системы аксиом существует недоказуемое и неопровержимое с ее помощью высказывание .
Может , это из-за того, что существует синтаксическая и семантическая версии и я говорю о семантической, а Sonic86 приводит доказательство синтаксической ?

Все же - нельзя ли попроще объяснить. Я то понимал вопрос так :

На примере примере парадокса лжеца.
Есть аксиоматическая система понятий-высказываний и правил вывода одного из другого, которая нам говорит, какое высказывание - истина , какое - ложь.
И есть высказывание : "Я лгу."

Я так понимаю, что обычно в математике доказательство высказывания проводится так :
1) предполагается что высказывание истинное и если в конце(или в процессе) доказательства результат такого предположения не противоречит аксиомам и не противоречит высказыванию, то высказывание считается доказанным, т.е. истинным, а если же - противоречит , то - ложным.
2) или же - предполагается, что высказывание ложное и если в конце(или в процессе) доказательства результат такого предположения противоречит исходным аксиомам или высказыванию, то высказывание считается доказанным, т.е. истинным, а если же - не противоречит , то - ложным .

Считается, что подходы 1) и 2) эквивалентны - т.е. из подхода 1) всегда однозначно получаем то же самое , что и из подхода 2) ( противоположное невозможно получить) и наоборот. Т.е. таким образом считается, что доказываемое высказывание противоречивым(самопротиворечивым) быть не может.

А я спрашиваю о том, можно ли вышеуказанным путем доказать противоречивость данного высказывания (истинность|ложность при этом не доказывается) - т.е. то, что в результате подхода 1) можно получить противоположное тому, что в результате подхода 2) и не следует ли такое из т Геделя?

И далее , как пример, парадокс лжеца :
1) Если считать истинным высказывание "я лгу" , то семантически из этого следует, что данное высказывание ложное.
2) Если считать ложным высказывание "я лгу" , то семантически из этого следует, что данное высказывание истинное.

??

[Sonic86]

kefi в сообщении #558913 писал(а):

1. Для любой непротиворечивой системы аксиом существует недоказуемое и неопровержимое с ее помощью высказывание .

Ну я глянул в Вики. Там не написано "для любой формальной теории", там написано:

Цитата:

всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.

не всякая ведь формальная система содержит арифметику.
Есть исчисление высказываний - это полная, непротиворечивая теория, в ней нет недоказуемых утверждений
(я Вам это 2-й или в 3-й раз пишу. Я как-то непонятно пишу? Вы много формальных теорий видели? Просто знаете, если прочитать точную версию, то после нее научпоп как-то уже не лезет)

[Toucan]

kefi, я насчитал в этой теме по крайней мере 6 постов, в которых Вам было сказано о требованиях, которым должна удовлетворять формальная теория, чтобы в ней выполнялась теорема Геделя о неполноте; Вы же с непонятным упорством продолжаете твердить про "любую непротиворечивую теорию".

Вместо того, чтобы дать себе труд разобраться в том, что Вам пишут, Вы пытаетесь рассуждать о довольно формальных и тонких вещах "на пальцах".

Если Вам так уж хочется приплести сюда парадокс лжеца, то для начала сформулируйте формальную теорию, в рамках которой Вы собираетесь этот парадокс рассматривать.

Будете продолжать в том же духе -- закрою тему.

[kefi]

Toucan в сообщении #558954 писал(а):

kefi
Если Вам так уж хочется приплести сюда парадокс лжеца, то для начала сформулируйте формальную теорию, в рамках которой Вы собираетесь этот парадокс рассматривать.

Так я как раз не знаю - как сформулировать такую теорию. Если бы знал - вопрос бы и не стоял. В том , возможно и вопрос - в рамках какой теории рассматривать парадокс лжеца? Я привел свое рассуждение выше о нем и просил меня поправить - что я не так понимаю именно "на пальцах", т.к. пока разобраться в формулах , что мне пишут, я не в состоянии. Тема и поднята как раз для популярного разъяснения некоторой первоначальной возникшей непонималки.

[_hum_]

2kefi
ИМХО, на пальцах эту тему объяснять бесполезно. Но если все же очень хочется, то полистайте книги Босса. Лекции по математике "От Тьюринга до Диофанта" - там он пытается это "на пальцах" изложить. Но, насколько просто у него это получается, настолько же просто это понимание потом превращается в непонимание. Поэтому, по-хорошему, надо все же ознакомиться с основами формальных теорий, в том числе логик, чтобы прочувствовать, что такое полнота, доказуемость, непротиворечивость, истинность и т.д. И уже потом возвращаться к Геделю.

[Someone]

kefi в сообщении #558913 писал(а):

Я не знаю, почему мою первую формулировку правят все время - я же привел ссылку в первом посте здесь люди тоже так понимают первую теорему :
1. Для любой непротиворечивой системы аксиом существует недоказуемое и неопровержимое с ее помощью высказывание .

Потому что Вы не читаете, что там написано, хотя и ссылаетесь, а пишете отсебятину. На самом деле там написано так (выделение жирным шрифтом моё):

Цитата:

В процессе доказательства теоремы строится такая формула $A$ арифметической формальной системы $S$, что:

Если формальная система $S$ непротиворечива, то формула $A$ невыводима в $S$; если система $S$ $\omega$-непротиворечива, то формула $\neg A$ невыводима в $S$. Таким образом, если система $S$ $\omega$-непротиворечива, то она неполна и $A$ служит примером неразрешимой формулы.

[Sonic86]

kefi в сообщении #558978 писал(а):

В том , возможно и вопрос - в рамках какой теории рассматривать парадокс лжеца?

Вы спрашиваете о теории вообще?
Если да, то вопрос на самом деле бессмысленный. Дело в том, что "парадокс лжеца" и "рассматривать в теории парадокс лжеца" - это не некие точно определенные конструкции, это бла-бла-бла, обычные слова из естественного языка. Идея с парадоксом лжеца используется для того, чтобы Вы поняли, как строится настоящее доказательство, что там основное, а что - детали, ну или быть может смогли сконструировать аналогичное доказательство, ну или для возникновения ощущения, что Вы поняли смысл доказательства.
А если начать задавать более подробные вопросы - смысл теряется (так и должно быть, ибо язык - естественный). Вот, например, я задаю себе вопрос "Как сформулировать парадокс лжеца в исчислении высказываний?". Да это же бессмысленный какой-то вопрос! Что значит "сформулировать"? Не факт, что можно сформулировать, не факт, что единственным способом, вообще, во что его вкладывать - в формулу, в терм? Непонятно. Бред в общем.

[kefi]

Sonic86 в сообщении #559025 писал(а):

Вот, например, я задаю себе вопрос "Как сформулировать парадокс лжеца в исчислении высказываний?". Да это же бессмысленный какой-то вопрос! Что значит "сформулировать"? Не факт, что можно сформулировать, не факт, что единственным способом, вообще, во что его вкладывать - в формулу, в терм? Непонятно. Бред в общем.

Ну я так понимаю - если каким-нибудь логичным способом можно сформулировать и как-то реализовать этот парадокс или его аналог, то - это уже достаточно для иллюстрации ...

[Sonic86]

kefi в сообщении #559047 писал(а):

Ну я так понимаю - если каким-нибудь логичным способом можно сформулировать и как-то реализовать этот парадокс или его аналог, то - это уже достаточно для иллюстрации ...

Неее, это же болтология получится какая-то. Как Вы, например, мыслите тогда возможность доказать невозможность реализации парадокса в формальной системе?! Я вообще представить этого не могу.
Вот давайте возьмем исчисление высказываний. Грубо говоря, это множество букв $A_1,A_2,\ldots$, связанных символов $\to$, в ней есть приведенные 11 схем аксиом (например, там $A\to A$ - теорема). Попробуйте туда осмысленно вложить парадокс лжеца - Вы почувствуете, что Вам формализма не хватит, и так оно и есть.

[Joker_vD]

Самое сложное — это высказыванию сослаться на самое себя.