Задание по математическому анализу

[subzer0]

Вот на первый взгляд несложная задачка, которая у меня не решается по неопределенным причинам ^^

$$\exists\varepsilon>0; \forall\delta>0: |f(x) - f(x_{0})|>\delta =>|x - x_{0}|<\varepsilon$$

Задание "Что вы можете сказать о функции"
Я пришел к тому, что функция имеет асимптоту в точке x_{0} и доопределена в ней, но неверно видимо из-за того, что окрестность
$\varepsilon$ все равно число, и как бы мы близко к асимптоте не были, то все равно можно найти такое $\delta$, что не будет выполняться неравенство $|f(x) - f(x_{0})|>\delta$ для всех $x$ из это окрестности. И, я так понял, что нужно сделать так, чтобы в окрестности точки $\varepsilon$ разность $|f(x) - f(x_{0})|$ была бесконечности?

[Padawan]

$f(x)=f(x_0)$ при $|x-x_0|\geqslant\varepsilon$, а в остальных точках какая угодно.

-- Вт апр 10, 2012 02:47:04 --

Замените $A\Rightarrow B$ на $\lnot B\Rightarrow\lnot A$, станет более понятно.

[subzer0]

Не понял, почему же тогда разность между $|f(x)-f(x_{0})$| будет больше любого числа в окрестностях $\varepsilon$

[gris]

А она не обязана быть больше.
Иногда бывает понятнее, если задачу изложить языком обывателя. (Чаще наоборот).

Тогда условия на функцию звучат так: Существует такая окрестность точки $x_0$, что если значение функции в некоторой точке отличаются от её значения в $x_0$, то эта точка принадлежит указанной окрестности. Или, как уже сказал достопочтенный Padawan, да не поразит он меня сверкающим мечом за вмешательство в вашу нетрплвую беседу, вне окрестности такого отличия быть не может. Внутри же окрестности функция может быть любой, даже и равной значению в срединной точке. Ведь сколь угодное отклонение является лишь условием, которое и не обязано выполняться.

Ну а после понимания нужно изложить решение строго и формализовано.

+++ После внутренней душеспасительной беседы с e..., m... и П... (они не знают) решил немного добавить методического в тематическое обсуждение.
Интересно и полезно в таких задачах побаловаться с условиями. Поменять кванторы, знаки неравенств, направление логических стрелочек. Например:

$\forall\varepsilon>0\, \exists\delta>0: |f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon$

$\exists\varepsilon>0\, \forall\delta>0: |f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow |x - x_{0}|<\varepsilon$

$\forall\delta>0\,\exists\varepsilon>0 : |f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow |x - x_{0}|<\varepsilon$ Ну и так далее.

[Padawan]

Если формально, то по-моему в условии не хватает квантора $\forall x$.

[gris]

А по-моему конструкция $\forall x: |x-x_0|<\delta, f(x)=0$ логически эквивалентна $ |x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)=0$

[alcoholist]

Padawan в сообщении #558598 писал(а):

Если формально, то по-моему в условии не хватает квантора $\forall x$.

икс там вводится неравенством, как отметил gris, а вот про $x_0$ непонятно -- нужен квантор

[Padawan]

subzer0
Предполагается, ли в исходном утверждении квантор $\forall x$ после $\forall\delta$ или не предполагается?

[alcoholist]

Padawan в сообщении #558627 писал(а):

Предполагается, ли в исходном утверждении квантор $\forall x$ после $\forall\delta$ или не предполагается?

он неявно предполагается: "$\exists \varepsilon>0\,:\,\forall\delta,\,\forall x\in f^{-1}\{z\,:\,z\ne B_\delta(f(x_0))\}$ имеем $|x-x_0|>\varepsilon$"

[gris]

По-моему, к данной задаче предполагалось некоторое предисловие: пусть $f$ функция действительного переменного (хотя почему обязательно?), $x_0$ некоторое число.
Хотя интересно было бы заценить функцию, у которой указанное свойство выполняется для любого $x_0$.

[Maslov]

alcoholist в сообщении #558609 писал(а):

а вот про $x_0$ непонятно -- нужен квантор

А зачем? Это можно рассматривать как определение; типа

"назовем функцию $f(x)$ зеленой в точке $x_0$, если существует такая окрестность этой точки, вне которой $f(x) = f(x_0)$"

[gris]

Этак и до финитных функций недалеко. Вот куда клонится-то всё...

[alcoholist]

Maslov в сообщении #558632 писал(а):

Это можно рассматривать как определение

ну да, я и имел ввиду, что объекты должны возникать в утверждении либо с кванторами, либо как определяемое

[gris]

Впрочем, наличие $\forall x$ не означает ли, что функция определена на всей оси? Или для $x$, не принадлежащим к области определения, условие отклонения функции считается невыполненным?

[Padawan]

Если бы квантора не было, то утверждение касалось бы всего двух точек -- $x$ и $x_0$.