Лучше сказать в
![$\varepsilon -$ $\varepsilon -$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/3/993c28f1a478b470e3ccf1945ef7235982.png)
окрестности
![$x_0$ $x_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e714a3139958da04b41e3e607a54445582.png)
.
Дело в том, что условие не накладывает никаких ограничений на поведение функции в этой окрестности.
Оно накладывает ограничения только на поведение функции вне этой окрестности: там запрещается ненулевое отклонение от
![$f(x_0)$ $f(x_0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/d/ffd7dcd51a1e31109ed5f4104777c8d382.png)
, причём именно из-за строгости хотя бы одного из неравенств
![$|f(x) - f(x_{0})|< \delta$ $|f(x) - f(x_{0})|< \delta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/3/85352e82a2742f1facead28061fdc2c982.png)
и
![$\delta>0$ $\delta>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/1/e61806b0d92d6e5141f65dbe7f6a038e82.png)
.
Ибо, если бы мы написали
![$\exists\varepsilon>0\, \forall\delta\geqslant 0: |f(x) - f(x_{0})|\geqslant \delta \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon$ $\exists\varepsilon>0\, \forall\delta\geqslant 0: |f(x) - f(x_{0})|\geqslant \delta \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/b/17b964caf26901cf4de7a2401522001482.png)
, то функция вне окрестности не могла бы быть определена.
Впрочем, Вашу идею с асимптотой можно реализовать в функции, определённой на всей числовой оси и непрерывной везде, кроме некоторой точки
![$x_0$ $x_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e714a3139958da04b41e3e607a54445582.png)
с условием:
![$\forall\delta>0\, \exists\varepsilon>0: |f(x) - f(x_{0})|<\delta \Rightarrow|x - x_{0}|>\varepsilon$ $\forall\delta>0\, \exists\varepsilon>0: |f(x) - f(x_{0})|<\delta \Rightarrow|x - x_{0}|>\varepsilon$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/4/b04a2f4cde47c7cf971fb05796569c3382.png)
Хотя я кажется понял, в чём Ваше затруднение.
В неправильном использовании эпсилон и дельты.Вы, вероятно, считаете, что условие
![$|f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon$ $|f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow|x - x_{0}|<\varepsilon$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/7/08790ec5dd8d7c3b1b38ce43d3ffa8c182.png)
автоматически влечёт
![$|f(x) - f(x_{0})|\leqslant\delta \Rightarrow|x - x_{0}|\geqslant\varepsilon$ $|f(x) - f(x_{0})|\leqslant\delta \Rightarrow|x - x_{0}|\geqslant\varepsilon$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/6/cc625d6dc2603dc561fd8827b051b36182.png)
? Да нет, показалось.