Исследовать на сходимость ряд

[Иван_85]

Исследовать на сходимость.
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)$.
Подскажите пожалуйста в каком направлении копать? Какой признак применить?

[alcoholist]

да все тот же... Выделяйте главную часть используя эквивалентности

-- Вт апр 10, 2012 12:41:43 --

Можно и на сумму этих корней числитель и знаменатель умножить -- упростить

[Иван_85]

$a_n=\frac{1}{n}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)=\frac{2}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}}$,
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n}}{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\frac{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}}{2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{2}=1$.
Но так как ряд с общим членом $\frac{1}{n}$ расходится, то и ряд с общим членом $a_n=\frac{1}{n}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)$ также (исправил) расходится.
Правильно?

[alcoholist]

да, только "также" слитно в данном случае