Вопрос о равенстве квадратичных форм с разной симметрией.

[ishhan]

Рассмотрим квадратичные целочисленные формы от трёх переменных.
Перечислим элементарные
1) $x^2+y^2+z^2$
2)$(x+y+z)^2$
3)$xy+xz+zy$
Последняя форма представляет собой разность с точностью до двойки двух предыдущих, но её тоже укажем.
Конечно можно придумать ещё что-нибудь вроде:
4)$(\frac{xy}{z}+\frac{zy}{x}+\frac{zx}{y})^2$, но если приравнять её какой-либо другой квадратичной форме и убрать рациональность, то получим равенство в котором буду участвовать симметрические формы более высокой чётной степени.
Поставим вопрос в общем виде:
Могут ли целочисленные квадратичные симметрические формы а) , б) принимать одно и то же значение на множестве целых чисел

a)$ W^2(x,y,z)$ от трёх переменных с двумя видами симметрии:

$$(1) W^2(x,y,z)=W^2(x,z,y)=W^2(y,x,z)=W^2(z,x,y)=W^2(y,z,x)=W^2(z,y,x)$$

$$(2) W^2(x,y,z)=W^2(-x-y-z,y,z)=W^2(x,-x-y-z,z)=W^2(x,y,-x-y-z)$$

б) обычная целочисленная квадратичная симметрическая форма $Q^2(x,y,z)$ от трёх переменных симметрия которой задана как:

$$(1) Q^2(x,y,z)=Q^2(x,z,y)=Q^2(y,x,z)=Q^2(z,x,y)=Q^2(y,z,x)=Q^2(z,y,x)$$

И дадим предположительный ответ:
Формы вида а) и вида б) принимают одно и то же значение только в том случае, когда $x+y+z=0$
Во всех остальных случаях они не могут принимать одно и то же значение.

[alcoholist]

ishhan в сообщении #557750 писал(а):

a)$ W^2(x,y,z)$ от трёх переменных с двумя видами симметрии:

$$(1) W^2(x,y,z)=W^2(x,z,y)=W^2(y,x,z)=W^2(z,x,y)=W^2(y,z,x)=W^2(z,y,x)$$

$$(2) W^2(x,y,z)=W^2(-x-y-z,y,z)=W^2(x,-x-y-z,z)=W^2(x,y,-x-y-z)$$

Этими соотношениями форма определена с точностью до множителя и имеет вид

$$ W(x,y,z)=c(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx),\quad c\in\mathbb{R}. $$

Форма

ishhan в сообщении #557750 писал(а):

$$(1) Q^2(x,y,z)=Q^2(x,z,y)=Q^2(y,x,z)=Q^2(z,x,y)=Q^2(y,z,x)=Q^2(z,y,x)$$

Имеет вид

$$ Q(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+b(xy+yz+zx),\quad a,b\in\mathbb{R}. $$

Осталось понять что Вы имеете ввиду, когда спрашиваете

ishhan в сообщении #557750 писал(а):

Могут ли целочисленные квадратичные симметрические формы а) , б) принимать одно и то же значение на множестве целых чисел

[ishhan]

alcoholist в сообщении #557799 писал(а):

Имеет вид

$$ Q(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+b(xy+yz+zx),\quad a,b\in\mathbb{R}. $$

Осталось понять что Вы имеете ввиду, когда спрашиваете
ishhan в сообщении #557750 писал(а):
Могут ли целочисленные квадратичные симметрические формы а) , б) принимать одно и то же значение на множестве целых чисел

Вы приводите общий вид целочисленной симметрической формы квадратичной формы от трёх переменных

$$ Q(-x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+b(xy+yz+zx),\quad a,b\in\mathbb{R}. $$

И тогда вопрос можно переформулировать так:
В каком случае произвольная квадратичная симметрическая форма указанного вида будет иметь свойство симметрии (2)

$$(2)Q(x,y,z)=Q(-x-y-z,y,z)=Q(x,-x-y-z,z)=Q(x,y,-x-y-z)$$

Делаем замену переменных и получим:

$$Q(-x-y-z,y,z)=a((-x-y-z)^2+y^2+z^2)+b((-x-y-z)y+yz+z(-x-y-z))$$

После выделения слагаемых формы $W^2(x,y,z)$ с требуемым свойством симметрии получим:

$$Q^2(-x-y-z,y,z)=aW^2(x,y,z)-ax^2-bW^2(x,y,z)+bx^2$$

Отсюда следует, что должно быть $ a=b $ и то, что замену одного из переменных на обратную сумму всех трёх выдерживает только форма:

$$ W^2(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xy+zx+zy$$

Поэтому равенство квадратичных симметрических целочисленных форм а), б) с разными свойствами симметрии не выполняется.
Применимо ли это к аналогу с нечётной степенью целочисленной формы?

[alcoholist]

Обозначим

$$ Q_{a,b}(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+b(xy+yz+zx),\quad a,b\in\mathbb{R}. $$

Еще раз внятно повторите свое высказывание о $Q_{a,b}$ (и $W_a=Q_{a,a}$) и сформулируйте свойство, которое Вы хотите обобщить и на что обобщить

[ishhan]

alcoholist в сообщении #557901 писал(а):

Обозначим

$$ Q_{a,b}(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+b(xy+yz+zx),\quad a,b\in\mathbb{R}. $$

Еще раз внятно повторите свое высказывание о $Q_{a,b}$ (и $W_a=Q_{a,a}$) и сформулируйте свойство, которое Вы хотите обобщить и на что обобщить

Извините заранее если, что то не так с обозначениями, но я хочу понять следующее:
Может ли $Q^k(x,y,z)$ целочисленная симметрическая форма степени $k$ от трёх переменных $x,y,z $самого общего вида, не обладающая свойством:

$$Q^k(x,y,z)=Q^k(-x-y-z,y,z)=Q^k(x,-x-y-z,z)=Q^k(x,y,-x-y-z)=$$

(наверное нужно сказать, что содержания единица и тем самым отсечь тривиальный случай)

принимать одно и то же значение с целочисленной симметрической формой от трёх переменных той же степени$ W^k(x,y,z)$, которая обладает указанным свойством и тем самым проявляет свойство симметрии по четырём переменным, где четвёртое переменное $s=-x-y-z$
При этом формы $Q^k(x,y,z) $ и $ W^k(x,y,z)$ берутся от одной и той же тройки целочисленных переменных $x,y,z$ и $x+y+z\ne{0}$
И если может принимать одно и то же значение, то в каком случае, кроме тривиальных?
В случае целочисленных симметрических квадратичных форм от трёх переменных всё упрощается тем, что существует единственная форма с симметрией вида(1) это $W^2(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz$
А в случае не чётных показателей степени $n$ появляются формы $W^3(x,y,z,s)$ и $W^{n-3}(x,y,z,s)$ с симметрией (1) благодаря существованию тождества:
$x^n+y^n+z^n+s^n=W^3(x,y,z,s)W^{n-3}(x,y,z,s)$
где $s=-x-y-z$
$W^3(x,y,z,s)=(x+y)(x+z)(y+z)=-(x+s)(y+s)(z+s)$
$W^{n-3}(x,y,z,s)= x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz$ при $n=5$

[alcoholist]

разберемся сначала со степенью 2

alcoholist в сообщении #557901 писал(а):

Обозначим

$$ Q_{a,b}(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+b(xy+yz+zx),\quad a,b\in\mathbb{R}. $$

Еще раз внятно повторите свое высказывание о $Q_{a,b}$ (и $W_a=Q_{a,a}$)

Ясно, что $\{(x,y,z)\,:\,Q_{a,b}(x,y,z)=W_c(x,y,z)\}$ -- это все целые точки, если $a=b=c$,

либо пустое множество (при $(2a-b-c)(a+b-2c)>0$),

либо множество целых точек, лежащих на плоскости $x+y+z=0$ (при $2a=b+c$),

либо множество целых точек, лежащих на прямой $x=y=z$ (при $a+b=2c$),

либо множество целых точек, лежащих на некотором конусе вращения с осевой прямой $x=y=z$ (при $(2a-b-c)(a+b-c)<0$)

-- Вс апр 08, 2012 16:04:34 --

ishhan в сообщении #557942 писал(а):

одно и то же значение

они обе всяко принимают одно и то же значение $0$

-- Вс апр 08, 2012 16:07:49 --

alcoholist в сообщении #557982 писал(а):

либо множество целых точек, лежащих на прямой $x=y=z$ (при $a+b=2c$),

Вот формы $Q(x,y,z)=3(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)$ и $W(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx$ принимают равные значения на тройках вида $(x,x,x)$ ($x+x+x\ne 0$)

[ishhan]

Спасибо, alcoholist, за подробные разъяснения по квадратичным формам.
Теперь позвольте задать более сложный вопрос о симметрической форме третьей степени

$$W_d^3(x,y,z)= d(x+y)(x+z)(z+y)$$

которая так же обладает свойством симметрии

$$W_d^3(x,y,z)=W_d^3(-x-y-z,y,z)=W_d^3(x,-x-y-z,z)=W_d^3(x,y,-x-y-z)$$

Существует ли такая целочисленная тройка $x,y,z$ и симметрическая целочисленная форма трёх переменных общий вид которой:

$$ Q_{a,b,c}^3(x,y,z)=a(x^3+y^3+z^3)+b(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2)+c{xyz}$$

такая, что $Q_{a,b,c}^3(x,y,z)=W_d^3(x,y,z)$ но при этом форма $Q_{a,b,c}^3(x,y,z)$ обладает только симметрией свойственной перестановкам из трёх элементов и не обладает симметрией формы$ W_d^3(x,y,z) $ свойственной перестановкам из четырёх элементов.
Возможно ли это равенство для троек $x,y,z$ все компоненты которых принимают различные значения и
$x+y+z\ne0$

[alcoholist]

Выражайтесь понятнее. Вы пишете очень много лишних слов и формул.

Попробуйте ответить на свой вопрос сами: $W_d=Q_{0,d,0}$, поэтому равенство $Q_{a,b,c}(x,y,z)=W_d(x,y,z)$ равносильно равенству $Q_{a,b-d,c-2d}(x,y,z)=0$.

Подбирайте числа:)

[ishhan]

Если предельно кратко, то уравнение:

$$(s+x)(s+y)(s+z)=x^p$$

Где $p$-любое целое число, а целочисленные переменные $ x,y,z,s$ связаны соотношением $x+y+z+s=0$
Думается мне, что оно не возможно из за того, что однородные делители форм правой и левой части имеют разную симметрию.
Хотя интуиция не ... :)

[alcoholist]

ishhan в сообщении #559114 писал(а):

уравнение:

$$(s+x)(s+y)(s+z)=x^p$$

что "уравнение"?

ishhan в сообщении #559114 писал(а):

Где $p$-любое целое число

не "любое", а произвольное

ishhan в сообщении #559114 писал(а):

Думается мне, что оно не возможно

кто "оно"? Что невозможно???

Вероятно, Вы имеете ввиду следующее:
система уравнений

$$ \left\{\begin{array}{ll} (s+x)(s+y)(s+z)=x^p\\ x+y+z=0 \end{array} \right. $$

не имеет решений в целых числах.

Хотя, это неверно:

$$ \left\{\begin{array}{ll} (0+2)(0-1)(0-1)=2^1\\ 2-1-1=0 \end{array} \right. $$

[ishhan]

alcoholist в сообщении #559124 писал(а):

Вероятно, Вы имеете ввиду следующее:
система уравнений

$$ \left\{\begin{array}{ll} (s+x)(s+y)(s+z)=x^p\\ x+y+z=0 \end{array} \right. $$

Вот эту систему:

$$ \left\{\begin{array}{ll} (s+x)(s+y)(s+z)=x^p\\ x+y+z+s=0 \end{array} \right. $$

и ни одно из целых чисел $x,y,z,s$ не может быть нулём
Иначе соображения о разной симметрии однородных делителей $(s+x)(s+y)(s+z)$ и $x^p=(-y-z-s)^p$ не проходят.

[venco]

$x=-2, y=1, z=3, s=-2, p=2$

[alcoholist]

ishhan в сообщении #559144 писал(а):

Иначе соображения о разной симметрии однородных делителей $(s+x)(s+y)(s+z)$ и $x^p=(-y-z-s)^p$ не проходят.

сформулируйте "соображения симметрии" точно

[ishhan]

venco в сообщении #559183 писал(а):

$x=-2, y=1, z=3, s=-2, p=2$

Спасибо за контрпример, да уж, степень у икса не произвольное число, это я загнул.

alcoholist в сообщении #559209 писал(а):

сформулируйте "соображения симметрии" точно

Приведу всё же соображения симметрии на численном примере.
Возьмём для этого тройку целых чисел: $1,5,25$ и две симметрические формы записанные от трёх переменных:

1)$W^2(x,y,z)= x^2+y^2+z^2+xy+zx+zy=1+25+625+5+25+125=806=2\cdot13\cdot31$

2)$Q^2(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$=1+25+625=651=3\cdot7\cdot31

Теперь объясним почему делители $31$ и $13$ присутствуют в разложении формы 1) , а в форме 2) только $31$ из "соображений" симметрии.
Для этого рассмотрим тройку $1, 5, 25$ по модулю $31$.
Умножаем каждую компоненту на $5$:

$5(1,5,25)=(5,25,125)\equiv(5,25,1)\mod31$,

таким образом компонентный состав тройки не изменился, а результатом умножения на$ 5$ стала циклическая перестановка компонент по модулю $31$.
Теперь рассмотрим тройку по модулю $13$:

$(1, 5, 25)\equiv(1,5, -1)\mod13$

дополним её четвёртым элементом $s=-1-5+1=-5$ получим четвёрку $(1,5,-1, -5)$ и умножим каждую компоненту на 5 получим:

$5(1,5,-1, -5)=(5,25,-5, -25)\equiv(5,-1, -5, 1)\mod13$.

Таким образом, форма 1)$W^2(x,y,z)$ имеет делитель $31$ благодаря тому, что она симметрическая от трёх переменных и $13$, как симметрическая от четырёх переменных.
Форма$ Q^2(x,y,z)$ имеет делитель$ 31$ как обычная симметрическая от трёх переменных.
Все эти делители будут присутствовать при условии, что $5^2\not\equiv1\mod13$ и $5^2\not\equiv1\mod31$, где$ 2$ степень формы.
А так же в виде алгебраической записи без комментариев
$\begin{cases} & ax\equiv{y}\mod{p} \\ & ay\equiv{z}\mod{p} \\ & az\equiv{x}\mod{p} \\ \end{cases}$

$ a^3\equiv{1}\mod{p}$

$ a^m\not\equiv1\mod{p} $
$Q^m(1,a,a^2)\equiv{0}\mod{p}$

$\begin{cases} & ax\equiv{y}\mod{q} \\ & ay\equiv{z}\mod{q} \\ & az\equiv{s}\mod{q} \\ & as\equiv{x}\mod{q} \end{cases} $

$ a^4\equiv{1}\mod{q} $

$a^m\not\equiv1\mod{q} $

$W^m(1,a,a^2)\equiv{0}\mod{q}$

$W^m(1,a,a^2)\equiv{0}\mod{p}$
Можно ли этим воспользоваться для доказательства неразрешимости целочисленных уравнений в которые входят такие формы?

[alcoholist]

ishhan в сообщении #559465 писал(а):

Можно ли этим воспользоваться для доказательства неразрешимости целочисленных уравнений в которые входят такие формы?

каких уравнений?

чем этим?