Слово = 1 в F_2

[Sonic86]

Пусть $w=w(u,v)$ - элемент свободной группы $F(u,v)$. Пусть существуют такие $u=u(x,y), v=v(x,y)$ из свободной группы $F(x,y)$, что $w(u(x,y),v(x,y))=1$. Каковы $u,v$? Мне пока кажется, что $u,v$ - степени некоторого одного элемента из $F(x,y)$ (+ добавляем какие-то еще ограничения на $w$). Как это доказать, не могу сообразить, и верно ли это вообще?

[alcoholist]

Sonic86 в сообщении #557839 писал(а):

Пусть $w=w(u,v)$ - элемент свободной группы $F(u,v)$

Зачем там скобочки? Что за функциональная зависимость? Элемент группы не зависит от системы образующих

[Sonic86]

alcoholist в сообщении #557850 писал(а):

Зачем там скобочки? Что за функциональная зависимость? Элемент группы не зависит от системы образующих

Можно считать, что он зависит от базиса $u,v$, т.е. выражается через него (я иначе подстановку изобразить не смогу).
Например: $w=uvu^{-1}=w(u,v)$.

[alcoholist]

может тогда так и написать: $w(u,v)$ -- слово в образующих $u$ и $v$

После первого предложения заменили бы $u$ и $v$ на $\xi$ и $\eta$, а то путаница

[Sonic86]

alcoholist в сообщении #557867 писал(а):

может тогда так и написать: $w(u,v)$ -- слово в образующих $u$ и $v$

Пусть так.

[Sonic86]

Ну вот например пусть $w(u,v)=u^{a_1}v^{b_1}\dots u^{a_s}v^{b_s}$, причем все $a_j,b_j>0$. $u=u(x,y),v=v(x,y)$, поскольку $w(u(x,y),v(x,y))=1$, то слово $w(u(x,y),v(x,y))$ сократимо. Считаем, что $u(x,y),v(x,y)$ несократимы, значит $(\forall k)u^k, v^k$ либо несократимы, либо (если они циклически сократимы) просто выносим общий множитель. Значит слово $w$ может быть сократимо лишь в точках сочленения $u^{a_j}$ и $v^{b_j}$. Если $u,v$ были циклически сократимы: $u=gu_1g^{-1}, v=hv_1h^{-1}$, то $g=h$ и все сводится к случаю, когда $u,v$ циклически несократимы. А в этом случае как не сокращай слово - все равно сокращаем $u^{a_j}$ с $v^{b_j}$, либо $v^{b_j}$ с $u^{a_j}$ - тогда $u,v$ станут степенями одного слова.
Но это все - если $a_j,b_j>0$, а если иначе?

[Sonic86]

Или давайте такой вопрос:
Пусть $u,v \in F_2, uv\neq vu$. Доказать, что все элементы $u^{-k}vu^k,k\in\mathbb{Z}$ независимы.
Если $u,v$ - базис $F_2$, то очевидно, а если не базис?
Я могу доказать, что всегда $u^{-k}v^mu^k\neq v^l$, а как в общем случае - опять же не знаю
Может использовать малые сокращения?