Казалось бы, простая, "школьная" задача о баллистике…

[Poloviniel]

Уважаемое сообщество, уже неделю бьюсь над решением, как казалось, простой задачи из курса школьной физики. Похоже, чего-то я не понимаю. Иногда мне даже кажется, что эту задачу можно решить только методами высшей математики, а них я совсем не силён уже, много лет не интегрировал/дифференцировал.

Условия задачи таковы:
Из точки А стрелок кидает камень со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, так, чтобы попасть в движущуюся цель. Эта цель на момент броска находится на некотором расстоянии от стрелка, в проекциях на координатные оси это $L_0$ и $h$ и движется прямолинейно и равномерно строго горизонтально со скоростью $v_1$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Нужно определить величину угла $\alpha$.
Известны:
• $v_0$ — модуль скорости камня
• $v_1$ — горизонтальная скорость цели (вертикальная составляющая равна нулю)
• $L_0$ и $h$ — начально смещение цели относительно стрелка
Неизвестны ни время полета, ни угол броска камня.

Я пробовал решать как нас в школе учили. Попробую сейчас изложить свои рассуждения.

• В некоторый момент времени $t$ траектории движения цели и камня пересекаются в точке С, то есть их координаты совпадают. Кажется, решение близко. Нужно записать уравнения движения обоих материальных точек, приравнять их попарно и решить систему двух уравнений. Пробую:
$x_0 = v_0 cos\alpha t$
$y_0 = v_0 sin\alpha t - \frac{gt^2}2$
$x_1 = L_0 + v_1 t$
$y_1 = h$
Уравнения готовы, условия пересечения таковы: x0 = x1, y0 = y1, составляем систему уравнений:
$v_0 cos\alpha t = L_0 + v_1 t$
$v_0 sin\alpha t - \frac{gt^2}2 = h$
Теперь видно, что в этой системе уравнений имеется две неизвестных величины: время t и угол Alpha. Пробуем выразить t из первого уравнения:
$v_0 cos\alpha t = L_0 + v_1 t$
$v_0 cos\alpha t - v_1 t = L_0$
$t (v_0 cos\alpha - v_1) = L_0$
$t = \frac{L_0}{v_0 cos\alpha - v_1}$
Получили, вроде даже симпатичная формула получилась, припоминаю, в школе было примерно так же. 36 лет мне, давно это было, да…
Подставляем полученное выражение во второе уравнение, и смотрим:
$v_0 sin\alpha t - \frac{gt^2}2 = h$
$\frac{v_0 sin\alpha L_0}{v_0 cos\alpha - v1} - \frac{g({\frac{L0}{v_0 cos\alpha - v_1})}^2}2 = h$
И всё. Дальше я решить не могу, чего-то не хватает. Даже если пробовать обратно, т.е. выражать что-нибудь из второго уравнения системы и подставлять в первое, всё равно запутываюсь.

Может быть, кто-то уже решал подобные задачи? Буду благодарен за помощь.

[Munin]

Перейдите в систему отсчёта, движущуюся со скоростью $v_1.$ Законы падения камня останутся такими же, зато конечная точка будет неподвижна.

[Poloviniel]

Ого. В голову не приходило. Благодарю заранее. Завтра попробую и обязательно поблагодарю повторно!

[ewert]

Munin в сообщении #557717 писал(а):

Законы падения камня останутся такими же, зато конечная точка будет неподвижна.

И придём к тому же уравнению, только делать это будет менее приятно: начальная скорость будет зависеть от угла.

Если ответ определяется из уравнения четвёртой степени с коэффициентами общего вида -- значит, именно к такому уравнению всё и сводится, ничего не поделаешь, чудес не бывает.

[Munin]

Да, я не обратил внимания, что только угол не задан. Тогда, конечно, я меняю шило на мыло. Poloviniel, пардон.

Уравнения четвёртой степени в школьной физике не дают, потому что не дают в школе формул для их решения в общем случае. Так что если такое уравнение возникает, надо искать, не упрощается ли оно как-то. Иногда за счёт каких-то ограничениях в условиях, которые топикстартер забыл сообщить.

[ewert]

Munin в сообщении #557825 писал(а):

не упрощается ли оно как-то. Иногда за счёт каких-то ограничениях в условиях,

За счёт ограничений оно никак не может упроститься. Только за счёт связей типа $v_0=2v_1$ и т.д.

[Munin]

Я это и называл "ограничениями", подразумевая не только неравенства - ограничения в узком смысле.

[Батороев]

Poloviniel в сообщении #557710 писал(а):

Дальше я решить не могу, чего-то не хватает.

Конечно, не хватает. При этих условиях цель можно перехватить и над соседним леском, и за тридевять земель.

[Maslov]

Батороев в сообщении #557917 писал(а):

При этих условиях цель можно перехватить и над соседним леском, и за тридевять земель.

Так уж и за тридевять земель. Дальше, чем $v_0^2 / g$, камень всяко не залетит.

[ewert]

Ну, можно привести задачу в некоторое чувство, поставив вопрос, например, так: при какой минимальной начальной скорости камень сможет убить зайца, бегущего по столу? Тогда решать уравнений четвёртой степени не придётся.

[Munin]

ewert в сообщении #557936 писал(а):

Ну, можно привести задачу в некоторое чувство, поставив вопрос, например, так: при какой минимальной начальной скорости камень сможет убить зайца, бегущего по столу?

Учитывая вариант, что при недостаточной скорости камень зайца ударит, но не зашибёт до смерти? :-)

[Poloviniel]

Благодарю за ответы!
Действительно, как уже упоминалось в дискуссии, переход в другую систему координат привел к изначальному уравнению движения. И действительно, в результате дальнейшей всеночной возни с решением получилось неполное уравнение четвёртой степени. Никаких взаимозависимостей между параметрами задачи нет, нужно решение именно что в самом что ни на есть общем виде, при любых начальных скоростях, при любом начальном расстоянии между точками.

Что ещё более волшебно, так это то, что изначально мне хотелось решить эту задачу для трехмерного пространства.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #558009 писал(а):

Учитывая вариант, что при недостаточной скорости камень зайца ударит, но не зашибёт до смерти?

Запросто. Надо только много-много кванторов понатыкать.

[Munin]

Poloviniel в сообщении #558018 писал(а):

Никаких взаимозависимостей между параметрами задачи нет, нужно решение именно что в самом что ни на есть общем виде, при любых начальных скоростях, при любом начальном расстоянии между точками.

Ну тогда и решайте уравнение четвёртой степени по общему алгоритму (не школьному, но ничего не поделаешь). Найти его можно в разных справочниках, начать можно с Википедии.

Poloviniel в сообщении #558018 писал(а):

Что ещё более волшебно, так это то, что изначально мне хотелось решить эту задачу для трехмерного пространства.

Это задачу не усложняет, можно найти плоскость, в которой всё происходит, и свести задачу к предыдущей.