Что такое треугольник?

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #555943 писал(а):

Э-э-э, кто сказал, что у всех трёх границы проходят через начало координат?

А, кажется, понял Вас. Я-то представлял себе полуплоскости в пространстве.

А у Вас все три полуплоскости являются подмножествами одной плоскости. И Вы считаете треугольником не только его контур, но и внутренность...

По Вашему получается, что если взять три тонких стержня, длины которых удовлетворяют неравенству треугольника, и склеить их концами, то треугольника не получится. Чтобы получился треугольник, надо ещё натянуть на полученный каркас какую-то тонкую плёнку... Не нравится мне эта терминология, странная она. Как это фигуру, составленную из трёх тонких стержней, можно не считать треугольником!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #555950 писал(а):

Как это фигуру, составленную из трёх тонких стержней, можно не считать треугольником!

Ну, например, у этой фигуры нет площади (т.е. есть, но нулевая). И ещё граница этой фигуры совпадает с ней самой.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #555974 писал(а):

Ну, например, у этой фигуры нет площади (т.е. есть, но нулевая). И ещё граница этой фигуры совпадает с ней самой.

Ну а как тогда следует называть эту фигуру, если не треугольником?

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #555950 писал(а):

По Вашему получается, что если взять три тонких стержня, длины которых удовлетворяют неравенству треугольника, и склеить их концами, то треугольника не получится.

Да, получится граница треугольника.

Профессор Снэйп в сообщении #555950 писал(а):

Не нравится мне эта терминология, странная она. Как это фигуру, составленную из трёх тонких стержней, можно не считать треугольником!

Треугольник, круг - всё это фигуры, и каждую из них можно вырезать из бумаги, взвесить, найти центр тяжести. Что в этом плохого?

Правда, можно представить себе задачу на пересечение прямой или окружности с треугольником, но что мешает сказать "со сторонами треугольника"? Стороны-то никуда не деваются, как и углы (угол - тоже "заполненная" фигура на плоскости, треугольник можно представить себе как пересечение трёх углов - не любых, конечно же).

А в обратном случае придётся объяснять, почему мы под "площадью круга" понимаем одно, а под "площадью треугольника" - другое. И кстати, это "другое" будет ну очень неудачно обобщаться: это не выпуклая оболочка, поскольку иначе не будет нормальной площади у невыпуклых четырёхугольников. Можно считать это площадью, охваченной контуром, но тогда придётся говорить про самопересечения и правила их подсчёта, про ориентацию... Зачем нам считать, что у двух равных треугольников, например, зеркально отражённых, площадь может отличаться по знаку?

Может, это и бессистемно (я не читаю геометрию, тем более семиклассникам), но я предпочитаю, чтобы "геометрическая фигура" значило почти то же самое, что и "область". А делать её похожей на "раскрашенный граф" - это, извините, несколько другая ветка математики, с геометрией связанная более абстрактно, зато более тесно - с алгеброй и комбинаторикой.

-- 04.04.2012 16:01:34 --

Ещё аргумент: словосочетания "в треугольнике" и "вне треугольника" тоже обретают очевидный смысл в смысле множеств. "Медиана в треугольнике" - это подмножество самого треугольника.

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #556083 писал(а):

А в обратном случае придётся объяснять, почему мы под "площадью круга" понимаем одно, а под "площадью треугольника" - другое.

Под площадью круга, а не под площадью окружности!

Если посмотреть на школьные определения, то там треугольник задаётся именно как три точки и три соединяющих их отрезка. А потом, когда начинают говорить про площадь треугольника... Ну Вы поняли, надеюсь! Школьная геометрия - это...

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #556088 писал(а):

Под площадью круга, а не под площадью окружности!

Да, именно на это я и упираю. "Площадь круга" - и "площадь треугольника", а не какая-нибудь "площадь внутренности треугольника", или "площадь части плоскости, ограниченной треугольником".

Профессор Снэйп в сообщении #556088 писал(а):

Если посмотреть на школьные определения, то там треугольник задаётся именно как три точки и три соединяющих их отрезка. А потом, когда начинают говорить про площадь треугольника... Ну Вы поняли, надеюсь! Школьная геометрия - это...

Handwaving, ага. Школьная физика не лучше.

[BVR]

Это же вопрос терминологии. Не более. В системе аксиом Гильберта треугольник - "три палочки", как было сказано выше. У Александрова - часть плоскости.

[Munin]

А разве треугольник уже в систему аксиом входит? Я думал, там только точки, прямые, углы.

Ах, да, для одной из эквивалентных форм Пятого постулата...

[arqady]

Munin в сообщении #556083 писал(а):

А в обратном случае придётся объяснять, почему мы под "площадью круга" понимаем одно, а под "площадью треугольника" - другое.

Понимаем то же самое. Просто имеется понятие плоского треугольника (многоугольника). Слово "плоский" договариваются опускать, когда переходят к понятию площади. Никаких проблем не вижу. Такие договорённости на каждом шагу в школьной геометрии. Важна суть, а она не потеряна.
Например, говорим же мы: сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. В этой формулировке полно договорённостей.
Полностью это бы звучало, например, так:
Для каждого треугольника сумма градусных мер всех его углов равна $180^{\circ}$.
Подобные вещи очень ценны были для потупающих на Московский Мехмат в далёких семидесятых.
Помню, любимые их вопросы:
- определение окружности (хотите попробовать определить?)
- докажите, что в любой тетраэдр можно вписать сферу...
Много там чего такого было...

[Munin]

arqady в сообщении #557769 писал(а):

Такие договорённости на каждом шагу в школьной геометрии.

Да, только в одном месте они одни, а в другом другие. И переключение происходит незаметно для школьника. В этом мы видим проблему.

[arqady]

Munin в сообщении #557814 писал(а):

И переключение происходит незаметно для школьника.

Для нерадивого школьника многие переключения остаются незаметными. В России люди, которые разрабатывали, как подать площади геометрических фигур (и всё остальное), продумали многие мелочи и делали это, имхо, наилучшим образом. Может, сейчас что и изменилось...

gris в сообщении #554226 писал(а):

У Погорелова действительно порядок вершин треугольника имеет значение и равенство именно треугольников определяется не через движение, а как равенство всех шести соответствующих элементов.
Аксиоматически вводится существование треугольника, равного данному, в заданном положении.
На этой аксиоме основывается вывод первого и второго признака равенства. Потом идёт равнобедренный треугольник. Теорема о равенстве углов при основании следует из равенства его ему самому (с переставленными вершинами) по первому признаку. Обратная теорема доказывается с использованием второго признака.
Потом идут свойства медиан и прочего в равнобедренном треугольнике.
А уж заканчивается всё это третьим признаком по трём сторонам.

Редкий семиклассник может этот материал усвоить, да ещё в самом начале курса.

Последняя фраза - известное предубеждение и оно мне непонятно и не согласен я с этой фразой.
Смотря как преподавать!

[Munin]

arqady в сообщении #557846 писал(а):

Для нерадивого школьника многие переключения остаются незаметными.

Всё-таки это ещё и от учебника и от учителя зависит.

[gris]

arqady, согласен с Вашим несогласием насчёт моей фразы о редком семикласснике.
Я имел в виду скорее известную педагогическую теорему, что "для любого $p\in (0,1)$ существует седьмой класс в котором любой преподаватель не может добиться за год большего, чем $p$ процента качества обучения."

Кстати по теме. Почитал предисловие к учебнику Адамара по геометрии. Проникся. И заодно увидел кое-что даже у Николя Б. про равенство треугольников в историческом очерке по теории множеств.

В общем, спор вековечный.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #557769 писал(а):

Понимаем то же самое. Просто имеется понятие плоского треугольника (многоугольника). Слово "плоский" договариваются опускать, когда переходят к понятию площади.

Ага. Т.е. я могу говорить "плоская окружность" вместо "круг"? Странная терминология, ну где вы видели неплоский треугольник? Да и потом, "плоский" = "лежащий в какой-то плоскости", а не "содержащий область на плоскости"

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да, переходя к четырёхугольникам, можно заметить, что под плоским четырёхугольником понимают вроде бы только тот, который лежит в плоскости безотносительно к тому, это множество отрезков или область.