О конструктивизме при преподавании математики.

[zbl]

apriv в сообщении #556787 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #556749 писал(а):

Люди, которые писали "системы компьютерной алгебры", занимались именно тем, что программировали все эти самые "километры ручного счёта". А Вы теперь предлагаете их дружно забыть.

Я не предлагаю их дружно забыть. Я говорю, что приемы вычисления интегралов и прочее упомянутое выше становится весьма специальным занятием, которое реально нужно только тем, кто занимается разработкой систем компьютерной алгебры (ну, и приближенным к ним). В нынешнее время учить этому всех студентов не только на математических факультетах, но и на более инженерно-прикладных — абсолютно бессмысленно. Единственная причина, по которой это происходит — «традиция» и инертность системы образования. Ну типа как раньше всех учили пользоваться счетами, а теперь поди найди эти счеты.

Эх, а я попробую предложить именно забыть совсем.
Сколько будет $\sin 1$ кто-нибудь скажет?
А я вот помню, что это 0.84 (проверил -- правильно помню).
Как вы будете вычислять это число? в ряд разложите? -- не правда, вы не будете его вычислять.
Даже, когда не было компьютеров, никто не вычислял -- пользовались пятизначными таблицами.
А вот те таблицы составлялись с помощью хитрющих алгоритмов.
Но вот сейчас компьютеры вычисляют синус совсем не так, как составлялись те таблицы.
Хитрющие алгоритмы составления тех таблиц полностью забыты.
Так, может, настанет время, когда и подстановки Эйлера забудутся точно так же?
То есть, не в том смысле, что программисты только будут их знать -- нет -- совсем забудутся.
Программисты же сейчас не знают алгоритмов составления пятизначных таблиц.
Вот и подстановки Эйлера, может, даже они знать тоже совсем не будут когда-нибудь?

[Munin]

apriv в сообщении #557113 писал(а):

В то же время, там, где по-настоящему решают дифференциальные уравнения, это делают численно, так что трюки и там не нужны.

Это вы просто не знакомы с теми местами, где по-настоящему решают дифференциальные уравнения. Численные подходы - благо, но не панацея.

zbl в сообщении #557123 писал(а):

Но вот сейчас компьютеры вычисляют синус совсем не так, как составлялись те таблицы.Хитрющие алгоритмы составления тех таблиц полностью забыты.

Ничего подобного. Современные методы вычисления в компьютерах - продолжение и развитие тех методов, которыми составлялись таблицы в прошлом.

[zbl]

Munin в сообщении #557126 писал(а):

zbl в сообщении #557123 писал(а):

Но вот сейчас компьютеры вычисляют синус совсем не так, как составлялись те таблицы.Хитрющие алгоритмы составления тех таблиц полностью забыты.

Ничего подобного. Современные методы вычисления в компьютерах - продолжение и развитие тех методов, которыми составлялись таблицы в прошлом.

Давайте, я Вам не стану рассказывать, как вычисляется синус в стандартной библиотеке Си, а, как его вычисляли составители таблиц?
И более простой пример типа про теорию подсчёта значности для логарифмической линейки тоже не буду приводить?
Бесполезно потому что совершенно и для меня, и для Вас, и для других.

[G^a]

Здравствуйте!

apriv в сообщении #557113 писал(а):

В то же время, там, где по-настоящему решают дифференциальные уравнения, это делают численно, так что трюки и там не нужны.

Ну это Вы хватанули лишку. Могу сказать, что когда по-настоящему решаешь жёсткую нелинейную систему ОДУ, даже заточенные под это дело методы Булирша – Штера или Розенброка иногда обламываются, и приходится аналитически перекручивать уравнения. И трюки ой как нужны, ещё и собственные выдумываешь.

Ещё пример, не все особые точки (области) может найти численный анализ. А к примеру, наличие неизвестной неустойчивой точки (области) в нелинейной системе управления может привести к нехилой аварии. Поэтому спасает качественная теория ДУ. Вы откройте книжку, посмотрите, математика в чистом виде.

apriv позвольте уточнить, а откуда Вы взяли столь категоричное суждение, которое я процитировал? Из студенческого фольклора?

С уважением,
G^a.

[apriv]

G^a в сообщении #557253 писал(а):

Поэтому спасает качественная теория ДУ. Вы откройте книжку, посмотрите, математика в чистом виде.

Конечно, качественная теория. Которая не имеет никакого отношения к трем трюкам для уравнений Риккати.

[G^a]

apriv в сообщении #557257 писал(а):

Конечно, качественная теория. Которая не имеет никакого отношения к трем трюкам для уравнений Риккати.

Не знаю о каких именно трюках Вы пишите, но уравнения Риккати также активно и по-настоящему применяются. И зачастую нужны именно аналитические их решения.

С уважением,
G^a.

[Munin]

zbl в сообщении #557248 писал(а):

Давайте, я Вам не стану рассказывать, как вычисляется синус в стандартной библиотеке Си, а, как его вычисляли составители таблиц?

Давайте не станете. Потому что про "синус в стандартной библиотеке Си" уже смешно. Там вызывается инструкция процессора.

[zbl]

Munin в сообщении #557277 писал(а):

Там вызывается инструкция процессора.

Сопроцессора.
И это особенно делает рельефным его сходство с алгоритмами составления пятизначных таблиц?
Не старайтесь превзойти самого себя.

[Профессор Снэйп]

zbl в сообщении #557294 писал(а):

Munin в сообщении #557277 писал(а):

Там вызывается инструкция процессора.

Сопроцессора.
И это особенно делает рельефным его сходство с алгоритмами составления пятизначных таблиц?
Не старайтесь превзойти самого себя.

Сопроцессор же кто-то когда-то сконструировал!

Для того, чтобы ездить на автомобиле, не обязательно знать, как он устроен (многие блондинко так и делают). А вот для того, чтобы придумать новый автомобиль, который будет лучше старого, нужно! И кто-то ведь должен придумывать новые автомобили.

У меня сложилось впечатление, что apriv хочет жить вот в таком мире.

[Munin]

zbl в сообщении #557294 писал(а):

Сопроцессора.

Уже много лет как не сопроцессора. Впрочем, спасибо, сегодня утром тоже посмеялся.

[apriv]

Профессор Снэйп в сообщении #557297 писал(а):

У меня сложилось впечатление, что apriv хочет жить вот в таком мире.

Удивительно, как оно могло у Вас сложиться так быстро. Я могу лишь повторить, что приемы ручного вычисления интегралов, подобно заучиванию таблицы «тригонометрических формул» в школе, в настоящее время нужны лишь узкому классу специалистов. Я же предлагаю изучать более концептуальные (и простые) вещи вместо безнадежно устаревших.

-- 07.04.2012, 12:19 --

Например, невозможно понять, что такое «криволинейные интегралы первого и второго рода», зачем нужны отдельные формулы Грина, Гаусса, Стокса, отдельные понятия ротора, дивергенции и чего там еще, когда все вышеописанное является разными сторонами двух чрезвычайно простых понятий. Ничем, кроме инерции составителей учебников «высшей математики», это объяснить нельзя.

[Padawan]

apriv
Обучение индуктивное, от простого к сложному, от менее абстрактных вещей к более абстрактным.

-- Сб апр 07, 2012 13:28:50 --

apriv в сообщении #557362 писал(а):

Ничем, кроме инерции составителей учебников «высшей математики», это объяснить нельзя.

Ну составьте свой учебник.

[Oleg Zubelevich]

apriv в сообщении #557362 писал(а):

Например, невозможно понять, что такое «криволинейные интегралы первого и второго рода», зачем нужны отдельные формулы Грина, Гаусса, Стокса, отдельные понятия ротора, дивергенции и чего там еще, когда все вышеописанное является разными сторонами двух чрезвычайно простых понятий. Ничем, кроме инерции составителей учебников «высшей математики», это объяснить нельзя.

мне наравится как он тролит этот форум

[Munin]

apriv в сообщении #557362 писал(а):

Я же предлагаю изучать более концептуальные (и простые) вещи вместо безнадежно устаревших.

Вы чего-то ничего конкретного не предлагаете.

apriv в сообщении #557362 писал(а):

Например, невозможно понять, что такое «криволинейные интегралы первого и второго рода», зачем нужны отдельные формулы Грина, Гаусса, Стокса, отдельные понятия ротора, дивергенции и чего там еще, когда все вышеописанное является разными сторонами двух чрезвычайно простых понятий. Ничем, кроме инерции составителей учебников «высшей математики», это объяснить нельзя.

А это ничего, что этому спокойно учат, и без вашего шашкомахательства?

[apriv]

Munin в сообщении #557372 писал(а):

Вы чего-то ничего конкретного не предлагаете.

Я предлагаю, к примеру, заменить эпсилоны-дельта на рассказ о том, как вводится топология на метрическом пространстве, для формулировки понятий предела и непрерывности не бояться использовать «фильтр», рассказывать про гладкие многообразия, теорию меры, линейную алгебру, комплексную геометрию в современном изложении вместо курсов «аналитической геометрии», «математического анализа», «теории функций комплексного переменного» и тому подобного. Там, где я учился, адекватные вещи в курсе матанализа появились то ли в конце второго, то ли в конце третьего курсов, и изложение в целом устарело лет на 70.

Munin в сообщении #557372 писал(а):

А это ничего, что этому спокойно учат, и без вашего шашкомахательства?

Где-то, наверное, учат. А нас учили по кошмарному учебнику Фихтенгольца, где именно что криволинейные интегралы двух типов и прочее. Дифференциальные формы, кажется, по-настоящему появились лишь в пятом семестре, но без слов «касательное расслоение», а в координатах, как у инженеров.

-- 07.04.2012, 12:57 --

Padawan в сообщении #557368 писал(а):

Обучение индуктивное, от простого к сложному, от менее абстрактных вещей к более абстрактным.

Это не значит, что нужно в процессе обучения повторять все исторически возникавшие ошибки и побочные ветки. Многие вещи после современного переосмысления как раз становятся проще.