задачка из задачники Воробьева

[Oleg Zubelevich]

Движений которые описываются в этой задаче не существует. В этом можно убедиться написав уравнения Лагранжа. Однако, если считать, что угол отклонения звена MC от вертикали мал т.е. вместо синусов угла написать сам этот угол и т.п. при этом считать, что AM вертикальна, то получается "правильный" ответ. Каковы основания для такой "линеаризации" непонятно: положения равновесия не наблюдается, в окрестности чего линеаризуем? Почему надо ожидать малости этого угла, когда в систему идет подкачка энергии? Странно. Кстати оба отклонения входят в уравнения равноправно.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #556855 писал(а):

Почему надо ожидать малости этого угла, когда в систему идет подкачка энергии? Странно.

Что значит "подкачка энергии"? Она возможна лишь в случае резонанса, да и тогда не обязательна (у нас ведь не просто уравнение 4-го порядка, а система из двух уравнений 2-го порядка). И если линеаризованная система подобное решение допускает -- значит, так тому и быть.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #557093 писал(а):

Что значит "подкачка энергии"?

это значит, что произнесена неформальная фраза, которой физики часто объясняют явления типа маятника Капицы. Я на этой фразе не настаиваю, я просто задаю вопрос: почему в уравнениях синус угла заменили на угол, а косинус на 1т.е какое отношение эти "линеаризованные" уравнения имеют к реальной системе?

ewert в сообщении #557093 писал(а):

И если линеаризованная система подобное решение допускает -- значит, так тому и быть.

1) что значит "линеаризованная система"? см. вопрос выше
2) что значит "так тому и быть"?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #557124 писал(а):

1) что значит "линеаризованная система"? см. вопрос выше

Это значит, что система линеаризована. Т.е. что учтены лишь члены первого порядка. Как и положено при исследовании систем на устойчивость.

Oleg Zubelevich в сообщении #557124 писал(а):

2) что значит "так тому и быть"?

Что если у линеаризованной системы решение в именно этом виде существует -- то, значит, существует; тут уж ничего не попишешь.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #557135 писал(а):

Как и положено при исследовании систем на устойчивость.

на устойчивость исследуют решения, а не системы, во всяком случае когда речь идет о нелинейных системах. В окрестности какого именно решения система была линеаризована?

И мне асетаки хотелось бы получить ответ на этот вопрос:

Oleg Zubelevich в сообщении #557124 писал(а):

т.е какое отношение эти "линеаризованные" уравнения имеют к реальной системе?

если Вы, конечно знаете на него ответ. Вот я честно говорю, что не знаю.

[ewert]

Я тоже честно скажу, что тоже не знаю. Но вот какие соображения имеются.

Корректность задачки для линеаризованной задачки очевидна. Тогда всё сводится к следующему: можно ли утверждать, что при всех достаточно малых внешних воздействиях (коими здесь являются колебания точки подвеса) существует периодическое решение с тем же периодом, что у внешнего воздействия и при этом асимптотически совпадающее с решением линеаризованной системы в пределе, когда амплитуда воздействия стремится к нулю?...

Для одного маятника это вроде бы безусловно так. Конечно, у нас задачка более сложная; но качественно всё-таки примерно такая же.

Эти мои размахивания руками, говоря строго, разумеется, ничего не доказывают. Но они порождают серьёзные сомнения в необходимости в чём-то сомневаться.

[Oleg Zubelevich]

Про периодические решения Вы наверное правильно говорите. Но если начать строго формулировать и доказывать, то придется проделать определенную работу, которая потребует техники. Там в частности, появятся какие-то условия невырожденности на возмущения что бы эти периодические решения существовали. А в целом поведение "линеаризованной" системы и исходной будет совершенно различным. Хотя бы потому, что что одна интегрируема а другая нет.
И вот, почему я поместил это в педагогический раздел, вопрос: надо ли школьнику или студенту младших курсов прививать вот эдакую легкость в мыслях? Взяли линеаризовали, а за кадром остается то, что на самом деле это очень очень очень сложная система с явлениями хаоса. Даже система с 3/2 степенями свободы это очень нетривиальная вещь, а здесь две с половиной степени свободы.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #557575 писал(а):

надо ли школьнику или студенту младших курсов прививать вот эдакую легкость в мыслях?

Безусловно надо. Но обязательно при этом оговариваясь типа "членами второго порядка пренебречь". А уж вопрос об оправданности этих пренебрежений -- это уже вопрос следующий. Иначе сороканожка.

[Leu]

Oleg Zubelevich в сообщении #557575 писал(а):

вот, почему я поместил это в педагогический раздел, вопрос: надо ли школьнику или студенту младших курсов прививать вот эдакую легкость в мыслях?

это даже не лёгкость в мыслях, а легкомыслие. Прививать его, конечно же, не то, что не надо, а и вовсе вредно.
Тем более когда задача настолько "упрощается" линеаризацией, что теряет связь с реальным физическим процессом.