О конструктивизме при преподавании математики.

[Munin]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #556788 писал(а):

Бесят уже эти заявления аля Вербицкий.

Ну, Вербицкий-то сам по себе неглуп и эрудирован. А вот те, кто нахватались от него стиля...

[Nemiroff]

Цитата:

«Классические» определения непрерывности, предела и прочая через эпсилон-дельта — безумный атавизм, понять определение с четырьмя переменами кванторов начинающий не может в принципе. «Километры ручного счета» — это то, чем вынуждены заниматься студенты; я, к примеру, на первом курсе для получения зачета, среди прочего, должен был посчитать сто [символьных] производных и семьдесят, кажется, интегралов.

Не вижу никаких проблем с "эпсилон-дельта".
Я тоже на первом курсе должен был посчитать кучу всего. И сейчас на третьем курсе я должен решать на бумажке смешанные задачи для круглой мембраны. И я не знаю другого способа понять, о чем вообще идет речь в курсе УМФ, если только не решать задачки.

А вот те, кто за отмену ручного счета, что вставить предлагают взамен?

[Padawan]

apriv в сообщении #556791 писал(а):

Ну, как бы, достаточно посмотреть на статьи, которые публикуются в журналах и в arXiv; посмотреть, чем занимаются ведущие математики, как происходило развитие математики во второй половине двадцатого века, и станет примерно ясно, где основное русло, а где устаревшее, превзойденное, упрощенное и переосмысленное. Я не Гильберт, я не определяю, а лишь наблюдаю.

Каждый кулик свое болото хвалит.

[Munin]

Между прочим (только никому не говорите), я сильно страдаю от того, что некоторое время назад перестал решать студенческие задачи на взятие интегралов. В результате навыки уехали вниз, и стало трудно читать обычные статьи, в которых взятие этих интегралов играет отнюдь не центральную роль. Что делать, верить автору на слово? А когда надо воспроизвести выкладки? Так что предложение вообще не учить этому студентов звучит, как очевидный бред. Не только учить, но и потом постоянно заниматься повторением, чтобы жирком не обрастать.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Насчет "хватит учить ненужному" могу лишь посоветовать перечитать первые четыре повести из цикла "Основание" Азимова. Как Галактическая Империя, охватывавшая двенадцать миллионов планет, докатилась до того, что никто не способен не то что построить — починить сломавшийся атомный генератор.

[mserg]

Постараюсь ответить на вопросы ТС.

Во-первых, нужно понимать, что такое математика. Это построение и анализ математических моделей, а не просто "решение задач". Посредством моделей описывается мир, познается, через модели делаются предсказания, на основании моделей происходит конструирование и синтез и т.д.

Чтобы случился акт использования математики нужно соединить реальный мир и математический формализм посредством некоторого количества предположений. Никакие пакеты не строят математические модели – это делает человек.

Далее, описание математической модели происходит на специальном языке – математическом. Никуда не деться ни от аксиом, понимания определений, всяких формализмов и выводов (правил языка) и т.д. Значит нужно знать этот математический язык. Не просто знать – а чтобы от «зубов отскакивало» - иначе толку не будет. Без проделывания кучи упражнений – никак.

Математические знания весьма обширны, и чтобы членораздельно сказать, чему нужно учить конкретного студента, необходимо иметь образ его будущего – чем человек будет заниматься. Поскольку будущее нынешней страны-«сырьевого придатка» непонятно – преподаватель ничего сделать не может. Если одни ненужные знания и навыки заменить другими знаниями и навыками, которые никогда не пригодятся – ничего не изменится. Критикующие и критикуемые одинаково "неправы".

Если провести аналогию со спортом, то не ясно по какой дисциплине будет выступать спортсмен: бокс, тяжелая атлетика или марафон. Поэтому преподаватели математики занимаются так сказать общефизической подготовкой.

Будет у страны образ будущего – учебные программы будут переписаны под цели достижения этого будущего. А пока, все что нам доступно, - вести себя корректно и достойно.

[Профессор Снэйп]

apriv в сообщении #556791 писал(а):

«Километры ручного счета» — это то, чем вынуждены заниматься студенты; я, к примеру, на первом курсе для получения зачета, среди прочего, должен был посчитать сто [символьных] производных и семьдесят, кажется, интегралов.

Сто производных и семдесят интегралов в течении полугода! Какой ужас, аж по одному примеру в день!

Или Вы просто на семинары в течении семестра не ходили, а потом Вам препод на зачёте все эти 170 примеров разом вывалил? Но вот здесь уж не надо, сами виноваты! Семинары для того проводят, чтоб студенты их посещали. Да и у преподов обычно нет желания проверять 170 решений у каждого студента группы. Хотя для того, чтобы наказать злостного прогульщика, можно и напрячся. Если не ходишь на занятия - значит, считаешь себя мегакрутым мэном, способным без предварительной подготовки посчитать влёт любой интеграл. Ну раз считаешь, то будь добр, докажи это. Назвался груздем - полезай в кузов!

-- Пт апр 06, 2012 09:04:46 --

(Оффтоп)

Лично я никому никогда не отказываю в праве получения зачёта, даже людям, которых первый раз вижу на сессии. Просто заставляю их в течении зачётной недели проделать весь семестровый объём работы. И ничего, некоторые даже умудряются сдать зачёт и не вылететь! Хотя в следующем семестре эти некоторые почему-то вдруг начинают ходить на все семинары. С чего бы это?..

[apriv]

Профессор Снэйп в сообщении #556854 писал(а):

apriv в сообщении #556791 писал(а):

Сто производных и семдесят интегралов в течении полугода! Какой ужас, аж по одному примеру в день!

Сто производных давались примерно на месяц; то есть, было объявлено в середине семестра и назначен дедлайн через месяц. Конечно, при желании можно было и получить зачет, минуя эти производные. А на практические занятия я ходил все-таки.

-- 06.04.2012, 10:53 --

Munin в сообщении #556818 писал(а):

Между прочим (только никому не говорите), я сильно страдаю от того, что некоторое время назад перестал решать студенческие задачи на взятие интегралов. В результате навыки уехали вниз, и стало трудно читать обычные статьи, в которых взятие этих интегралов играет отнюдь не центральную роль. Что делать, верить автору на слово? А когда надо воспроизвести выкладки?

Понимание гораздо важнее умения угадывать нужную подстановку для решения ОДУ. Специалист, снабженный пониманием, при желании может с отвращением «воспроизвести выкладки».

[Профессор Снэйп]

apriv в сообщении #556904 писал(а):

Сто производных давались примерно на месяц...

То есть по 3-4 производные в день

[Munin]

apriv в сообщении #556904 писал(а):

Понимание гораздо важнее умения угадывать нужную подстановку для решения ОДУ.

Если у вас нет умения угадывать нужную подстановку, можете считать, что у вас не понимание, а жалкая неполноценная пародия на него.

apriv в сообщении #556904 писал(а):

Специалист, снабженный пониманием, при желании может с отвращением «воспроизвести выкладки».

Специалист, снабжённый пониманием, никогда не будет испытывать к выкладкам отвращения. Это может быть рутиной, в худшем случае, когда они просты и однообразны. Или чем-то сложным и интересным. Но отвращение - это яркий признак отсутствия навыков и понимания. Имейте в виду. Человек не любит только то, что ему плохо даётся.

[eugrita]

Munin, я вас очень понимаю. Интегралы вообще говоря тренируют мозги. А также их взятие, да еще комплексных по контуру - это в том числе из физики в стиле 70-х гг. когда искали аналитические решения нестандартных задач например в акустике изгиба криволинейных стержней и т.д.
Но жизнь а вместе с ней и мода меняются.
Поэтому в духе конструктивной математики можно переделать определения:
Значение определенного интеграла это -не площадь под кривой а результат возвращаемый функцией int в Matlab при правильном ее вызове.
Аналогично- к черту многогранники,симплекс-методы, прямые и двойственные задачи а примем определение: оптимальное решение задачи ЛП - это решение возвращаемое функцией linprog при правильном его вызове. Его наличие или отсутствие всецело зависит от ее поведения.
Аналогичные определения - для пределов, сумм рядов и проч.
Желающие (но только желающие) могут по своей инициативе доказывать их эквивалентность классическим.

[Munin]

eugrita в сообщении #557014 писал(а):

А также их взятие, да еще комплексных по контуру - это в том числе из физики в стиле 70-х гг. когда искали аналитические решения нестандартных задач например в акустике изгиба криволинейных стержней и т.д.

В общем, я больше про квантовые задачи. И там этот стиль как был в 50-е, так и остался по сегодняшний день.

eugrita в сообщении #557014 писал(а):

Но жизнь а вместе с ней и мода меняются.Поэтому в духе конструктивной математики можно переделать определения:Значение определенного интеграла это -не площадь под кривой а результат возвращаемый функцией int в Matlab при правильном ее вызове.

Не путайте всё-таки моду в прикладных областях и моду в самой математике. Арифмометры и логарифмические линейки - это одно, а аксиоматика числовой прямой - это другое.

[ewert]

eugrita в сообщении #557014 писал(а):

Значение определенного интеграла это -не площадь под кривой а результат возвращаемый функцией int в Matlab при правильном ее вызове.

А потом как гигнется матлаб -- так сразу и хана всей математике.

[MaximVD]

eugrita в сообщении #557014 писал(а):

Значение определенного интеграла это -не площадь под кривой а результат возвращаемый функцией int в Matlab при правильном ее вызове.
Аналогично- к черту многогранники,симплекс-методы, прямые и двойственные задачи а примем определение: оптимальное решение задачи ЛП - это решение возвращаемое функцией linprog при правильном его вызове. Его наличие или отсутствие всецело зависит от ее поведения.

Допустим, вы "запихнули что-то" в мат.пакет и компьютер вам в ответ "что-то" выдал. А как понять правильный это ответ или нет? А вдруг кто-то допустил ошибку при программировании мат.пакета (что порой случается) и результат получился совсем не тот, какой нужно. Как вы поймёте что то, что выдал вам компьютер похоже на правду или это полная ерунда, если вы даже и не представляете себе то, что должны получить? Скажем, у вас интеграл от неотрицательной функции, а вам мат.пакет говорит ответ "-1" (бывают ошибки и похлеще).
Все мат.пакеты несовершенны и часто их использование, без понимания того что делает компьютер, приводит к ошибкам. К тому же порой компьютера нет под рукой.
В математике всё тесно взаимосвязано. Например, если вы не знаете определение производной и не умеете её вычислять, то я очень сомневаюсь, что вы сможете понять что такое производная Фреше и, тем более, как её считать и зачем она нужна. И тем более вы не сможете составить дифференциальное уравнение описывающее интересующий вас процесс. И не сможете сделать ещё много чего полезного.

[apriv]

Munin в сообщении #557001 писал(а):

Если у вас нет умения угадывать нужную подстановку, можете считать, что у вас не понимание, а жалкая неполноценная пародия на него.

Большую часть времени на практических занятиях по дифференциальным уравнениям мы занимались изучением десятка достаточно произвольных трюков для выражения решений достаточно специальных уравнений в элементарных функциях (эти уравнения кочуют из одного учебника в другой начиная буквально с учебника Коши). В некоторых случаях я научился видеть, какой должна быть эта подстановка, чтобы уравнение упростилось; в этой науке я не специалист, так что этого оказалось более чем достаточно. В то же время, там, где по-настоящему решают дифференциальные уравнения, это делают численно, так что трюки и там не нужны.