Сумма цифр и неограниченные функции

[Ktina]

Для каждого $n\in\mathbb N$ рассмотрим функцию $f(x)=\frac{S(x)}{S(nx)}$, где $x\in\mathbb N$, а $S(m)$ - сумма цифр десятичной записи натурального числа $m$.
Для каких $n$ эта функция будет неограниченной?
(Например, для $n=3$ эта функция, очевидно, не является ограниченной. Достаточно рассмотреть числа вида 333...3334).

[ИСН]

(Blind guess) Для всех, кроме $2^k5^m$.