Треугольная сумма квадратов

[RIP]

Вряд ли. Эта серия — вариация на тему $\displaymath\left(\frac{a+b}2\right)^2+\left(\frac{a-b}2\right)^2=\frac{a^2+b^2}2$ (впрочем, это ничего не означает).

-- Чт 05.04.2012 14:49:09 --

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #556082 писал(а):

Можно на это уравнение посмотреть как на уравнение Пелля относительно $(x,z)$ (неизвестное $y$ считаем параметром). Представляется маловероятным, что его можно исследовать при произвольном $y$.

Всё-таки не утерпел. Это не очень хорошая аргументация. Она проходит и в том случае, если $y^2$ заменить на $y$, однако получаемое при этом уравнение очень легко решается.

[nnosipov]

(Оффтоп)

RIP, понял, что имеете в виду. Но нет у нас линейности ни по какой переменной (это, конечно, подразумевалось). По любым парам переменных что-то пеллеобразное вырисовывается.

-- Чт апр 05, 2012 18:41:25 --

RIP в сообщении #556422 писал(а):

nnosipov в сообщении #556417 писал(а):

А вот такую штуку как рационально параметризовать: $2x^2+2y^2=z^2+1$

$2x^2+2y^2=(x+y)^2+(x-y)^2$ .

Да уж Но в общем виде (для произвольной квадратичной формы от 3-х переменных) вопрос не кажется простым. Но, скорее всего, исследован.

[Коровьев]

Многие квадратичные формы от многих переменных, имеющие хотя бы одну рациональную точку( а возможно и все ) параметризуются методом секущих, аналогично, как и для двух переменных, только возни больше.
К примеру:
$ax^2 + by^2 + z^2 = 1$
Где $a,b$ любые рациональные числа
Проведём прямую через тривиальную точку (0,0,1) и некую другую точку $(x_2 ,y_2 ,z_2 )$
$ \frac{{z - z_1 }}{{z_2 - z_1 }} = \frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }} \to \frac{{z - 1}}{{z_2 - 1}} = \frac{y}{{y_2 }} = \frac{x}{{x_2 }} $
Отсюда
$y = y_2 \frac{{z - 1}}{{z_2 - 1}},x = x_2 \frac{{z - 1}}{{z_2 - 1}} $
$ a\left( {x_2 \frac{{z - 1}}{{z_2 - 1}}} \right)^2 + b\left( {y_2 \frac{{z - 1}}{{z_2 - 1}}} \right)^2 + z^2 = 1 $
$z = \frac{{ax_2 ^2 + by_2 ^2 - \left( {z_2 - 1} \right)^2 }}{{ax_2 ^2 + by_2 ^2 + \left( {z_2 - 1} \right)^2 }} $
$y = \frac{{ - 2y_2 \left( {z_2 - 1} \right)^2 }}{{ax_2 ^2 + by_2 ^2 + \left( {z_2 - 1} \right)^2 }} $
$x = \frac{{ - 2x_2 \left( {z_2 - 1} \right)^2 }}{{ax_2 ^2 + by_2 ^2 + \left( {z_2 - 1} \right)^2 }} $
Окончательно, избавившись от лишней переменной, получим
$z = \frac{{ak^2 + bt^2 - 1}}{{ak^2 + bt^2 + 1}} $
$y = \frac{{ - 2t}}{{ak^2 + bt^2 + 1}} $
$x = \frac{{ - 2k}}{{ak^2 + bt^2 + 1}} $
Вопрос о полноте решений также легко (ну, почти) доказывается и почти так же, как и для двух переменных.

[scwec]

Вот, например, целочисленная параметризация (неполная) уравнения $z^2-x^2-y^2=1$
$x=2t^2, y=2t, z=2t^2+1$. Совсем простая. А если в уравнении один минус?

[RIP]

scwec в сообщении #556640 писал(а):

А если в уравнении один минус?

В смысле, $z^2+x^2-y^2=1$? Тогда ещё проще: $x=y$, $z=1$.

[scwec]

Да уж увидал. Можно также $z=2t^2-1$. Остальные прежние.
Ничего путного.

[Батороев]

А у меня вопрос: задачу, эквивалентную исходной: $a^2+b^2+1=c^2$ решать не проще? Просто обратил внимание, что в Инете задач с суммой трех квадратов не мало.

-- 06 апр 2012 01:26 --

Хотя, вижу, что уже рассматривали:

scwec в сообщении #556640 писал(а):

Вот, например, целочисленная параметризация (неполная) уравнения $z^2-x^2-y^2=1$
$x=2t^2, y=2t, z=2t^2+1$. Совсем простая.

[nnosipov]

Существует ли 2-параметрическое семейство решений уравнения $x^2+y^2+1=z^2$, где $x$, $y$, $z$ --- многочлены от параметров?

[scwec]

Вот 4-параметризация несколько более общего уравнения.
$x^2+y^2+u^2=z^2$. (У нас $u=1$).
$z=m^2+n^2+p^2+q^2$
$u=m^2-n^2-p^2+q^2$
$y=2mn-2pq$
$x=2mp+2nq$.
Дальше надо посмотреть.

[nnosipov]

scwec в сообщении #557017 писал(а):

$u=m^2-n^2-p^2+q^2$

Кладём $m=1$ и параметризуем $q^2=n^2+p^2$. Как раз два параметра будет.

[scwec]

Получаемая 2-параметризация тоже довольно слабая. (Пропускает много решений).
Предлагаю решить более интересную задачу.
Найти 3-параметрическое решение уравнения $x^2+y^2+z^2=3w^2$,
где $x,y,z,w$ - многочлены от параметров.

[scwec]

(Оффтоп)

Как говорится - вот и приехали?

Реакция на удаленную рекламу.

[scwec]

Привожу искомую 3-параметризацию.

$x=-m^2+n^2+k^2-2mn-2mk$

$y=m^2-n^2+k^2-2nm-2nk$

$z=m^2+n^2-k^2-2km-2kn$

$w=m^2+n^2+k^2$.