Красивая геометрия

[Simba]

В треугольнике $ABC$, вписанная и вневписанная окружности косаются отрезка $BC$ в точках $A_1$ и $A_2$, прямую $AC$ в точках $B_1$ и $B_2$, прямую $AB$ в точках $C_1$ и $C_2$ соответственно. Пусть $M, N, P, Q$ середины отрезков $A_1B_1, A_1C_1, A_2B_2, A_2C_2$. Доказать, что прямые $MP$ и $QN$ пересекаются на высоте, проведенной из вершины $A$.

[Dave]

Пусть $r$ - радиус вписанной окружности, $B_3$ и $C_3$ - точки на сторонах $AC$ и $AB$ соответственно такие, что прямая $B_3C_3$ касается вписанной окружности в точке $A_3$ и параллельна $BC$. Пусть также $H$ - основание высоты, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$, $A'$ - точка внутри $AH$, такая, что $AA'=2r$. Рассмотрим гомотетию $T$ с центром в точке $H$, такую, что точка $A$ переходит в $A'$. Пусть при этом точка $B_2$ переходит в точку $B_2'$, а точка $P$ - в $P'$. Очевидно, что точки $P$, $P'$ и $H$ лежат на одной прямой.
Заметим что $T$ можно представить как комбинацию гомотетии $U$ с центром в точке $A$, при которой прямая $CB$ переходит в прямую $B_3C_3$ и параллельного переноса $V$ в направлении $AH$ величиной $2r$. Действительно, комбинация таких преобразований $W$ также будет гомотетией, оставляющей на месте точку $H$, причём коэффициент $U$ (а значит и $W$) равен $\frac {B_3C_3} {CB}=\frac {AH_1} {AH}=\frac {AH-2r} {AH}=\frac {AH-AA'} {AH}=\frac {A'H} {AH}$ ($AH_1$ - высота треугольника $AB_3C_3$), т.е. такой же, как и у $T$. При этом в результате преобразования $U$ вневписанная в треугольник $ABC$ окружность перейдёт во вписанную в него, точка $A_2$ - в точку $A_3$, точка $B_2$ - в точку $B_1$, точка $P$ - в середину отрезка $B_1A_3$, точку $P_1$. В силу того, что отрезок $P_1M$ параллелен диаметру вписанной окружности $A_3A_1$ и равен его половине, т.е. $r$, а точка $P'$ есть образ $P_1$ при параллельном переносе $V$ величиной $2r$, точка $M$ является серединой отрезка $P_1P'$. Учитывая подобие треугольников $PP_1P'$ и $PAH$, получим, что прямая $PM$ пересекает высоту $AH$ ровно в её середине.
Аналогично доказывается, что прямая $QN$ также пересекает $AH$ в её середине.

[Simba]

Dave в сообщении #556401 писал(а):

Пусть $r$ - радиус вписанной окружности, $B_3$ и $C_3$ - точки на сторонах $AC$ и $AB$ соответственно такие, что прямая $B_3C_3$ касается вписанной окружности в точке $A_3$ и параллельна $BC$. Пусть также $H$ - основание высоты, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$, $A'$ - точка внутри $AH$, такая, что $AA'=2r$. Рассмотрим гомотетию $T$ с центром в точке $H$, такую, что точка $A$ переходит в $A'$. Пусть при этом точка $B_2$ переходит в точку $B_2'$, а точка $P$ - в $P'$. Очевидно, что точки $P$, $P'$ и $H$ лежат на одной прямой.
Заметим что $T$ можно представить как комбинацию гомотетии $U$ с центром в точке $A$, при которой прямая $CB$ переходит в прямую $B_3C_3$ и параллельного переноса $V$ в направлении $AH$ величиной $2r$. Действительно, комбинация таких преобразований $W$ также будет гомотетией, оставляющей на месте точку $H$, причём коэффициент $U$ (а значит и $W$) равен $\frac {B_3C_3} {CB}=\frac {AH_1} {AH}=\frac {AH-2r} {AH}=\frac {AH-AA'} {AH}=\frac {A'H} {AH}$ ($AH_1$ - высота треугольника $AB_3C_3$), т.е. такой же, как и у $T$. При этом в результате преобразования $U$ вневписанная в треугольник $ABC$ окружность перейдёт во вписанную в него, точка $A_2$ - в точку $A_3$, точка $B_2$ - в точку $B_1$, точка $P$ - в середину отрезка $B_1A_3$, точку $P_1$. В силу того, что отрезок $P_1M$ параллелен диаметру вписанной окружности $A_3A_1$ и равен его половине, т.е. $r$, а точка $P'$ есть образ $P_1$ при параллельном переносе $V$ величиной $2r$, точка $M$ является серединой отрезка $P_1P'$. Учитывая подобие треугольников $PP_1P'$ и $PAH$, получим, что прямая $PM$ пересекает высоту $AH$ ровно в её середине.
Аналогично доказывается, что прямая $QN$ также пересекает $AH$ в её середине.

Хорошое решение. Не думал что это середина. Решил иначе, чуть проще, но тоже с гомотетией: отрезки $MN$ и $QP$ параллельны, что наводит на мысль совершить гомотетию, переводящюю $QP$ в $MN$ (берем пересечение $MP$ и $QN$ как за центр гомотетии, точку $G$). Если $I$ и $S$ центры вписанной и вневписанной окружностей, то можно заметить, что при этой гомотетии $S$ переходит в $A_1$, $A_2$ переходит в $I$ (достаточно рассмотреть парралельность прямых). Т.е. $SA_1$ и $IA_2$ пересекаются в $G$. Далее достаточно доказать подобие треугольников $GIA$ и $A_2IS$ (по двум сторонам и углу), из чего следует парралельность $GA$ и $SA_2$, т.е. $GA$ перпендикулярна $BC$