Пусть

- радиус вписанной окружности,

и

- точки на сторонах

и

соответственно такие, что прямая

касается вписанной окружности в точке

и параллельна

. Пусть также

- основание высоты, опущенной из вершины

на сторону

,

- точка внутри

, такая, что

. Рассмотрим гомотетию

с центром в точке

, такую, что точка

переходит в

. Пусть при этом точка

переходит в точку

, а точка

- в

. Очевидно, что точки

,

и

лежат на одной прямой.
Заметим что

можно представить как комбинацию гомотетии

с центром в точке

, при которой прямая

переходит в прямую

и параллельного переноса

в направлении

величиной

. Действительно, комбинация таких преобразований

также будет гомотетией, оставляющей на месте точку

, причём коэффициент

(а значит и

) равен

(

- высота треугольника

), т.е. такой же, как и у

. При этом в результате преобразования

вневписанная в треугольник

окружность перейдёт во вписанную в него, точка

- в точку

, точка

- в точку

, точка

- в середину отрезка

, точку

. В силу того, что отрезок

параллелен диаметру вписанной окружности

и равен его половине, т.е.

, а точка

есть образ

при параллельном переносе

величиной

, точка

является серединой отрезка

. Учитывая подобие треугольников

и

, получим, что прямая

пересекает высоту

ровно в её середине.
Аналогично доказывается, что прямая

также пересекает

в её середине.