Релятивистский эффект Доплера.

[С.Мальцев]

Классический эффект Доплера при радиальном движении приемника или источника относительно неподвижной среды описывается формулой для неподвижного приемника и движущегося источника:

$$ \omega=\omega_0 \frac 1{1-\frac v c}$$

где $v$ – скорость источника относительно среды (положительная, если он движется по направлению к приёмнику).

Формулой для неподвижного источника и движущегося приемника:

$$ \omega=\omega_0 \left(1+\frac u c\right)$$

где $u$ – скорость приёмника относительно среды (положительная, если он движется по направлению к источнику).

А так же формулой для общего случая движения:

$$ \omega=\omega_0 \frac {1+\frac u c}{1-\frac v c}$$

Релятивистская формула для общего случая движения:

$$ \omega= \omega_0 \frac{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac v c \cos\theta }$$

где угол $\theta$ – угол между направлением на источник и вектором скорости в системе отсчёта приёмника.

Для начала рассмотрим частный случай радиального удаления/приближения источника и приемника. Если источник радиально удаляется от наблюдателя, то угол $\theta=0$. В таком случае, при $\cos\theta=1$, релятивистская формула для частного случая радиального движения:

$$ \omega= \omega_0 \frac{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac v c}$$

Попробуем выяснить, какой релятивистский эффект может влиять на изменения регистрируемой частоты сигнала, помимо относительного движения источника/приемника. Поскольку частота – количество сигналов в единицу времени, измеряемой по одним и тем же часам, очевидно, что на изменения частоты может влиять только один единственный релятивистский эффект – замедление времени. Либо замедление времени движущегося источника (падение частоты в $\gamma$ раз при передаче сигнала), либо замедление времени движущегося приемника (увеличение частоты в $\gamma$ раз).

Теперь представим, что в классическом варианте время замедляется при движении источника либо приемника относительно среды в соответствии с формулой:

$$t'=t\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}$$

В таком случае, при введении коэффициента $\sqrt{1- \tfrac{v^2}{c^2}}$ на замедление времени источника в классическую формулу изменения частоты для неподвижного приемника и движущегося источника:

$$ \omega=\omega_0 \frac 1{1-\frac v c}$$

получаем релятивистскую формулу:

$$ \omega= \omega_0 \frac{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac v c}$$

При введении коэффициента $\sqrt{1- \tfrac{u^2}{c^2}}$ на замедление времени приемника в классическую формулу изменения частоты для неподвижного источника и движущегося приемника:

$$ \omega=\omega_0 \left(1+\frac u c \right)$$

получаем релятивистскую формулу:

$$ \omega= \omega_0 \frac{1+\frac u c}{ \sqrt{1- \frac{u^2}{c^2}}}$$

Сравнив полученные формулы, приходим к выводу, что эти две формулы после введения коэффициента $\sqrt{1- \tfrac{v^2}{c^2}}$ на замедление времени, стали эквивалентны друг другу, и при $v=u$, получаем равенство:

$$ \omega= \omega_0 \frac{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac v c}=\omega_0 \frac{1+\frac u c}{ \sqrt{1- \frac{u^2}{c^2}}}$$

Если вместо $\omega_0$ в формулу:

$$ \omega= \omega_0 \frac{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac v c}$$

подставить выражение:

$$\frac{1+\frac u c}{ \sqrt{1- \frac{u^2}{c^2}}}$$

то из полученных формул можно вывести общую формулу для радиального движения источника и приемника относительно среды:

$$ \omega= \omega_0 \frac{\left(1+\frac u c \right)\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{\left(1-\frac v c\right) \sqrt{1- \frac{u^2}{c^2}}} $$

При релятивистском сложении скоростей:

$$ v_u= \frac{v+u}{1+\frac {vu}{c^2}}$$

результаты вычислений по выведенной общей формуле соответствуют вычислениям по формуле:

$$ \omega= \omega_0 \frac{ \sqrt{1- \frac{v_u^2}{c^2}}}{1-\frac {v_u} c}$$

либо, по формуле:

$$ \omega= \omega_0 \frac{1+\frac {v_u} c}{ \sqrt{1- \frac{{v_u}^2}{c^2}}}$$

Как видим, релятивистский эффект Доплера не только не противоречит наличию среды распространения ЭМ волн, но и напрямую указывает на наличие такой среды, т.к. влияния никаких других релятивистских эффектов, кроме эффекта замедления времени при регистрации эффекта Доплера, представить невозможно. Достаточно убрать фактор замедления времени из релятивистских формул, и формулы сразу же превращаются в классические. Достаточно в классические формулы ввести фактор замедления времени, и классические формулы сразу же превращаются в релятивистские.

[Someone]

Зачем нужны эти школьные упражнения с формулами?

[С.Мальцев]

Someone в сообщении #553664 писал(а):

Зачем нужны эти школьные упражнения с формулами?

Какие формулы, такие и упражнения. Чем проще формулы, тем очевидней их вывод из описываемых ими физических процессов.

Как видим, при замедлении времени классические формулы эффекта Доплера для радиального движения источника или приемника относительно среды, становятся релятивистскими. При этом две различные формулы становятся эквивалентными, что позволяет пользоваться любой из них как для движущегося источника при покоящемся относительно среды приемнике, так и для движущегося приемника при покоящемся относительно среды источнике.

Теперь рассмотрим поперечный релятивистский эффект Доплера, отсутствующий при классическом движении относительно среды. Релятивистская формула для общего случая движения:

$$ \omega= \omega_0 \frac{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac v c \cos\theta }$$

где угол $\theta$ – угол между направлением на источник и вектором скорости в системе отсчёта приёмника.

Очевидно, что данная формула выведена из классической формулы движения источника при покоящемся относительно среды приемнике. Если источник движется тангенциально по отношению к покоящемуся относительно среды приемнику, то при $ \theta=90^{\circ}$ ($\cos\theta=1$), релятивистская формула для поперечного эффекта Доплера:

$$ \omega= \omega_0 \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}$$

Если рассуждать логически, то действительно, поскольку в классическом варианте при таком приеме принимаемая частота остается неизменной, а в рассматриваемом случае ход часов движущегося относительно среды источника замедлен, частота, принимаемая покоящимся приемником должна упасть в соответствии с коэффициентом $\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}$.

С другой стороны, получается, что для тангенциально движущегося приемника при покоящемся относительно среды источнике, в силу замедления хода часов приемника, принимаемая частота должна соответственно увеличиться? Но это не так. Для движущегося относительно среды приемника необходимо учитывать еще и аберрацию сигнала:

$$ \cos\theta\,'= \frac{\cos\theta- \frac v c}{1-\frac v c \cos\theta}$$

Дело в том, что сигналу, принимаемому движущимся приемником с направления $ \theta=90^{\circ}$ придется догонять приемник (с падением частоты), в чем нетрудно убедиться, подставив в формулу аберрации значение косинуса угла $\cos\theta=0$, получив при этом $ \cos\theta \,'= -\frac v c$. Подставив вместо $\cos\theta \,'$ в формулу для движущегося приемника:

$$ \omega= \omega_0 \frac{1+\frac v c \cos\theta\,'}{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$$

выражение $-\frac v c$, получаем формулу поперечного эффекта Доплера для движущегося приемника:

$$ \omega= \omega_0 \frac{1-\frac {v^2}{c^2}}{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$$

Сравнив полученные формулы поперечного эффекта Доплера для движущегося источника и движущегося приемника, опять обнаруживаем их полную эквивалентность:

$$ \omega=\omega_0 \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}=\omega_0 \frac{1-\frac {v^2}{c^2}}{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$$

Если же сравнить формулы для общего случая движения относительно среды источника при покоящемся приемнике (с замедлением времени):

$$ \omega= \omega_0 \frac{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac v c \cos\theta }$$

с формулой для общего случая движения относительно среды приемника при покоящемся источнике (с замедлением времени):

$$ \omega= \omega_0 \frac{1+\frac v c \cos\theta\,'}{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \omega_0 \frac{1+\frac v c\, \frac{\cos\theta- \frac v c}{1-\frac v c \cos\theta}}{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$$

то и здесь обнаруживается их полная эквивалентность:

$$ \omega= \omega_0 \frac{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac v c \cos\theta }= \omega_0 \frac{1+\frac v c\, \frac{\cos\theta- \frac v c}{1-\frac v c \cos\theta}}{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$$

А поскольку формулы эквивалентны, но формула для движущегося относительно среды источника много проще формулы для движущегося приемника, то именно ее и предпочтительнее использовать для относительного движения источника и приемника.

[EvilPhysicist]

С.Мальцев в сообщении #553619 писал(а):

Как видим, релятивистский эффект Доплера не только не противоречит наличию среды распространения ЭМ волн, но и напрямую указывает на наличие такой среды

Ваша логика:
1) Возьмём СТО
2) В ней эфира нет
3) Выведем уравнения для эффекта Доплера исключительно из эффектов СТО
4) ??????
5) Эффект Доплера указывает на наличие эфира
6)PROFIT!!!
Видите свои ошибки?

[С.Мальцев]

EvilPhysicist в сообщении #555303 писал(а):

Выведем уравнения для эффекта Доплера исключительно из эффектов СТО

Из каких эффектов, кроме релятивистского замедления времени?

[EvilPhysicist]

С.Мальцев в сообщении #555324 писал(а):

Из каких эффектов, кроме релятивистского замедления времени?

Это и есть релятивистский эффект и есть от только в СТО, где нет эфира. Этого достаточно, чтобы понять, что если вы получаете, что эфир должен быть в теории, где его нет, то пора искать ошибки.

[Someone]

Вообще, это, конечно, поразительно. Человек делает вычисления, демонстрирующие, что релятивистский эффект Доплера зависит только от относительной скорости источника и приёмника и никаким способом не зависит от движения того и другого относительно среды (в отличие от классического эффекта Доплера, где скорости движения источника и приёмника относительно среды необходимы для определения величины этого эффекта и могут быть определены по этой величине и относительной скорости - по крайней мере, для случая, когда источник и приёмник движутся по одной прямой), так что определить скорость движения относительно среды принципиально невозможно - и заявляет, что среда необходима для релятивистского эффекта Доплера. В чём необходимость-то, если вычисления демонстрируют прямо противоположное?

[Munin]

Someone в сообщении #555461 писал(а):

В чём необходимость-то, если вычисления демонстрируют прямо противоположное?

У него в мозгу перерезан проводок между вычислениями и выводами из них.

[Jnrty]

Jnrty:

Поскольку вычисления, собственноручно проделанные авторм открытия, явно демонстрируют прямо противоположное тому, что заявлено - в Пургаторий.