Треугольная сумма квадратов

[alcoholist]

В связи с темой http://dxdy.ru/topic57010.html мне стало интересно узнать все тройки натуральных ($\ne 0$) чисел, удовлетворяющих равенству

$$ x^2+y^2=\frac{z(z+1)}{2}. $$

В той же теме всплыла однопараметрическая серия

$$ x=\frac{m(m+1)}{2},\quad y=\frac{m(m-1)}{2},\quad z=m^2. $$

Но, например, тройка $x=12$, $y=3$, $z=17$ не входит в эту серию.

Сам в арифметике, невычетах и символах не силен.

[nnosipov]

Можно на это уравнение посмотреть как на уравнение Пелля относительно $(x,z)$ (неизвестное $y$ считаем параметром). Представляется маловероятным, что его можно исследовать при произвольном $y$.

[scwec]

Поскольку $t=\frac{z(z+1)}{2}$ - т.н. треугольное число, а $t$ является треугольным тогда и только тогда, когда $8t+1=s^2$, $s$ -натуральное, то Ваше исходное уравнение приводится к следующему виду:
$s^2-8x^2-8y^2=1$. Полную параметризацию тут провести трудно. nnosipov прав.
Но всякое бывает.

[Коровьев]

Возможно, полная двухпараметрическая параметризация уравнения
$ 2x^2 + 2y^2 = z^2 + z $
суть
$\[ 2\left( {\frac{a}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{b}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 = \left( {\frac{1}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)\left( {\frac{1}{{2a^2 + 2b^2 - 1}} + 1} \right) \] $
и
$\[ 2\left( {\frac{a}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{b}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 = \left( { - \frac{{2a^2 + 2b^2 }}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)\left( { - \frac{{2a^2 + 2b^2 }}{{2a^2 + 2b^2 - 1}} + 1} \right) \] $

[scwec]

Действительно, бывает. А она полная? Похоже, нет.

[g______d]

Вроде, размерность сходится. Насколько неполной она может быть в таком случае?

[alcoholist]

Коровьев в сообщении #556234 писал(а):

Возможно, полная двухпараметрическая параметризация уравнения
$ 2x^2 + 2y^2 = z^2 + z $
суть
$\[ 2\left( {\frac{a}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{b}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 = \left( {\frac{1}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)\left( {\frac{1}{{2a^2 + 2b^2 - 1}} + 1} \right) \] $
и
$\[ 2\left( {\frac{a}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{b}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 = \left( { - \frac{{2a^2 + 2b^2 }}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)\left( { - \frac{{2a^2 + 2b^2 }}{{2a^2 + 2b^2 - 1}} + 1} \right) \] $

а сюда входит

$$ 12^2+3^2=\frac{17\cdot 18}{2} $$

что-то не соображу

[temp03]

Да ни хрена, Коровьев как всегда перемудрил! Хотя может и нет, надо проверять.

(Оффтоп)

может выпьем без уравнений?

[RIP]

Коровьев в сообщении #556234 писал(а):

Возможно, полная двухпараметрическая параметризация уравнения
$ 2x^2 + 2y^2 = z^2 + z $
суть
$\[ 2\left( {\frac{a}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{b}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 = \left( {\frac{1}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)\left( {\frac{1}{{2a^2 + 2b^2 - 1}} + 1} \right) \] $
и
$\[ 2\left( {\frac{a}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{b}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)^2 = \left( { - \frac{{2a^2 + 2b^2 }}{{2a^2 + 2b^2 - 1}}} \right)\left( { - \frac{{2a^2 + 2b^2 }}{{2a^2 + 2b^2 - 1}} + 1} \right) \] $

Эти формулы параметризуют все рациональные решения (при $a,b\in\mathbb Q$). Даже первая формула охватывает все решения, кроме $x=y=z=0$. Вот только как отсюда выделить все целые решения?

[scwec]

alcoholist в сообщении #556353 писал(а):

а сюда входит

$$12^2+3^2=\frac{17\cdot18}{2}$$

что-то не соображу

$a=\frac{3}{17},b=\frac{12}{17},x=12,y=3,z=17$

[nnosipov]

scwec в сообщении #556269 писал(а):

А она полная?

Параметризация полная и получается просто. А именно, положим $x=at$, $y=bt$ и $z=t$, подставим в уравнение, получим $t=1/(2a^2+2b^2-1)$ и т.д. Проблема в другом: наличие рациональной параметризации в общем случае не упрощает задачу отыскания всех целых точек (даже на кривой).

[RIP]

(Оффтоп)

Как сговорились.

[nnosipov]

RIP в сообщении #556413 писал(а):

Вот только как отсюда выделить все целые решения?

Ещё не видел удачных попыток подобных фокусов (кроме тривиальных примеров). В процессе может возникнуть, например, уравнение Туэ и т.п.

А вот такую штуку как рационально параметризовать: $2x^2+2y^2=z^2+1$ (в правой части нечто, не имеющее рациональных корней). Что-то не соображу. (Для однополостного гиперболоида $2x^2-2y^2=z^2+1$ можно было бы поискать рациональную прямую на нём.)

[RIP]

nnosipov в сообщении #556417 писал(а):

А вот такую штуку как рационально параметризовать: $2x^2+2y^2=z^2+1$

$2x^2+2y^2=(x+y)^2+(x-y)^2$ .

[alcoholist]

а никак не помогает то, что

alcoholist в сообщении #555954 писал(а):

всплыла однопараметрическая серия

$$ x=\frac{m(m+1)}{2},\quad y=\frac{m(m-1)}{2},\quad z=m^2. $$