Уравнение баланса

[type2b]

нет, неверно. Сформулируйте, пожалуйста, определение $\rho_{ij}$ и $\Upsilon_{ij}(t)$

[В.О.]

В.О. в сообщении #556016 писал(а):

Пусть $\Upsilon _{ij}(\Delta t)$ - вероятность перейти из $ i $-го в $ j $-е состояние за время $\Delta t $.

Или вас сбивает, что вместо $\Delta t$ я написал $t$? Буква другая - смысл тот же.
Определение $ \rho_ij$ это, пожалуй, не ко мне, а к авторам статьи.

type2b в сообщении #556165 писал(а):

нет, неверно.

Может быть. Но хотелось бы доказательства.

[type2b]

Да я-то все понимаю.
Отвечу про определения за вас. Пусть шаги $\Delta t$ конечны. По определению, вероятность перехода из $i$ в $j$ в промежутке времени от $t$ до $t+\Delta t$ равна $\Upsilon_{ij}(t,t+\Delta t)$. Чтобы получить наши уравнения, мы предполагаем, что при малом $\Delta t$ вероятность перехода из одного состояния в другое стремится к нулю пропорционально $\Delta t$. Соответственно, вероятность остаться в том же состоянии стремится к единице минус $\Delta t$ на что-то. По определению, $\rho_{ij}(t)$ есть плотность вероятности, т.е. вероятность события в течение времени от $t$ до $t+\Delta t$, делить на время $\Delta t$, при $\Delta t$ стремящемся к нулю. Т.е. $\rho_{ij}(t)=\Upsilon_{ij}(t,t+\Delta t)/\Delta t$, и для $i\ne j$, и для $i=j$. В нашей задаче этот предел, очевидно, существует лишь для $i \ne j$, а для $i=j$ соответствующее $\rho_{ii}$ расходится. Но оно нам и не нужно, т.к. в уравнение не входит. Все $\rho_{ij}$ положительны и при конечном $\Delta t$ удовлетворяют условию $\sum_j \rho_{ij}=1$. Всё.
Вы запутались в том, что хотите дифференцировать какую-то функцию $\Upsilon$, не понимая ни ее физического смысла, ни смысла продифференцированной функции. Поэтому я просил привести определения.
На этом разрешите откланяться.

[В.О.]

Ну, конечно, если вычислять плотность вероятности, так как вы ее определяете, то будет возникать бесконечность. А вот если вычислять производную, как это делаю я, то никаких бесконечностей не будет.
Впрочем, не важно. Все это элементарно. Главное, что вы мне помогли. За что огромное спасибо. А хочется меня поругать, так поругайте. Я тоже начинаю ругаться, когда что-то не получается. Поругаешься, а оно раз, и получится.

[type2b]

в предыдущем сообщении очепятка: $(\sum_j\rho_{ij})\Delta t=1$.

[В.О.]

type2b в сообщении #556404 писал(а):

$(\sum_j\rho_{ij})\Delta t=1$.

Так устремляйте $\Delta t$ к 0. Ничего хорошего не получится. Вы же с этого начинали.

Сейчас я проделаю то, что вы описали выше на словах. Точка над функцией означает производную по времени.
$\Upsilon _{ij}(\Delta t)= \Upsilon _{ij}(0) +\dot\Upsilon _{ij}(0) \Delta t =\dot\Upsilon _{ij}(0) \Delta t $ если $ i\ne j $
$\Upsilon _{ii}(\Delta t)= \Upsilon _{ii}(0) +\dot\Upsilon _{ii}(0) \Delta t =1+\dot\Upsilon _{ii}(0) \Delta t $
Суммируем и требуем, чтобы сумма вероятностей в момент $ \Delta t $ была равна 1.
$1=\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta t) =1 +\sum\limits_{j=1}^n \dot\Upsilon _{ij}(0) \Delta t $
Откуда
$\sum\limits_{j=1}^n \dot\Upsilon _{ij}(0)=0 $.
Это третий способ доказательства этого условия нормировки.
При $ i\ne j $ за время $\Delta t $ вероятность $\Upsilon _{ij}( t) $ растет от 0 до $\Upsilon _{ij}(\Delta t) $. Поэтому $ \dot\Upsilon _{ij}(0)>0 $. Вероятность $\Upsilon _{ii}( t) $ за это время уменьшается от 1 при $\Delta t=0 $ до чего-то там. Поэтому $ \dot\Upsilon _{ii}(0)<0 $. В сумме эти производные дают 0. Все четко.
Теперь проверим это условие на конкретных функциях $\rho _{ij}=x_j[F_j-F_i]_{+}$
$\rho _{ij}=\dot\Upsilon _{ij}(0) $ Ничего не получается.

[В.О.]

В.О. в сообщении #556424 писал(а):

$\sum\limits_{j=1}^n \dot\Upsilon _{ij}(0)=0 $.
$ \dot\Upsilon _{ij}(0)\geq0 $.
$ \dot\Upsilon _{ii}(0)\leq0 $.

С такой формулировкой проф. Сендхолм (один из авторов упомянутых статей) согласился.