Простые числа Жермен

[vorvalm]

$p_x$ - неизвестное простое число.

[Cash]

Я бы даже сказал
$p_x$ - неуловимое простое число
Вот зачем к нашим цепочкам приплетать некое сакральное простое число?

[vorvalm]

Почему же "неуловимое"?
А дла чего серое вещество?

[Cash]

Потому что ловить не кому.
Ладно, попробую.
Может $p_x=101$?

[vorvalm]

Cash
$p_x$ с потолка не берется.
У каждой цепочки чисел Жермен свое число $p_x$,
которое и определяет число элементов цепочки.
А определять эти числа есть кому, н.п. mihiv(себя я не включаю, т.к.они мне известны).
К ранее сказанному есть поправка, но я жду ответа mihiv

[Cash]

ОК.
Давайте тогда найдем $p_x$ для
цепочек (2, 5, 11, 23, 47) и (89, 179, 259, 719, 1439, 2879)

[vorvalm]

Первая цепочка уникальна. У цепочек с первым элементом $10n+1, \; p_x=5.$
У второй цепочки $p_x=11,$ которое определил mihiv.
Поправка. Число элементов цепочки чисел Жермен не превышает
$\varphi_2(p_x)=\varphi(p_x)-1=p_x-2$ , т.к. я не учел нулевой вычет, кратный $p_x$.

[Cash]

Цитата:

У второй цепочки $p_x=11,$ которое определил mihiv

Ткните меня, пожалуйста, носом, в то место, где mihiv его определил? Я внимательно перечитал все его сообщения, но не нашел.

Цитата:

У цепочек с первым элементом $10n+1, \; p_x=5.$

Если Вас не затруднит, откуда это следует?
Я все еще никак не могу выйти на след этого загадочного $p_x$

-- Ср апр 04, 2012 13:35:14 --

Я кажется начинаю понимать.
$p_x$ - это наименьший простой делитель первого составного числа в продолжении цепочки?
А вы не допускаете мысли, что цепочка может оказаться бесконечной?
Я вижу один путь доказательства конечности цепочки, но он опирается на недоказанный факт, что количество простых, по модулю которых $2$ является первообразным корнем - бесконечно.

[vorvalm]

mihiv в сообщении #555125 писал(а):

Эту последовательность можно записать в виде:$p_k=45\cdot 2^k-1$,т.к. $2^{10}\equiv 1\mod 11$,то $p_{10}\equiv 45-1\equiv 0\mod 11$

Все гораздо проще.
$p_x$ определяется не в продолжении цепочки, но по нулевому вычету цепочки.
Н.п. $10n+1-1=10n, \;p_x=5.$ или $(89+1)/2=45,\;45-1=44,\; p_x=11.$

[Cash]

vorvalm в сообщении #556008 писал(а):

$p_x$ определяется не в продолжении цепочки, но по нулевому вычету цепочки.
Н.п. $10n+1-1=10n, \;p_x=5.$ или $(89+1)/2=45,\;45-1=44,\; p_x=11.$

Что такое нулевой вычет?

[vorvalm]

Нулевой вычет любой системы стоит перед первым вычетом этой системы.

[Cash]

Не понял, конечно, но пусть это будут мои проблемы, надеюсь, что остальным все понятно.
Давайте ответим на следующий вопрос (может это мне поможет в понимании).
Пусть $p_i = 2^{k+i} \cdot m -1$
где $i = 0,1,2, ...$; $k>0$; $m$ - нечетно
Доказать (не пользуясь гипотезой Артина), что для любых $m$ и $k$ в последовательности ${p_0, p_1, p_2, ...}$ встретится составное число.
Или, другими словами, что цепочка простых чисел Жермен всегда конечна.

[vorvalm]

Ваша последовательность может быть цепочкой чисел Жермен
только при определенных нечетных $m$, но не при любых.
И потом, не забывайте, что мы имеем дело с простыми числами.

[Cash]

И что это меняет?
Ну будет у нас $p_0$ или $p_1$ - составное. На вопрос то не влияет. Спрашивается же - могут ли все числа в этой последовательности быть простыми? И все цепочки, которые стартуют не с простых чисел Жермен сразу отсеиваются.

[vorvalm]

Не торопитесь. Простые числа не любят суеты.
Давайте разберемся с обозначениями.
Я с самого начала предложил обозначать числа Жермен буквой $
Ну а простые - естественно "р", составные - "а".
Индексация чисел Жермен в цепочке: $g_1, g_2, g_3,....g_n.$
n - число элементов в цепочке.
Так вот число $g_0$ - нулевой вычет, в состав цепочки не входит, составное число,
с него стартует цепочка. Минимальный простой делитель $g_0$ является $p_x$