Простые числа Жермен

[mihiv]

Я хотел просто привести пример того,чем может определяться длина цепочки чисел Жермен,а конкретно было показано только,что если первое число цепочки имеет вид $10x-1$ и $x$ не делится на 11,то длина цепочки не превышает 9.Не исключено,что если взять,например,$x=11\#$,то можно получить и более длинные цепочки.

[vorvalm]

Вполне возможно.

[Cash]

Хорошо.
Пусть $g_0 = 2^k \cdot p_x \cdot M$
где $p_x$ - нечетное простое число; $k\geq0$
такое, что $g_1=2g_0+1$ и $g_2=2g_1+1=4g_0+3$ - простые
Пусть далее $g_{i+1}=2g_{i}+1$, $i\geq2$
Обязательно ли в последовательности $g_1, g_2, g_3, ...$ встретится составное число?
Если да, то почему?

Я ничего не упустил?

[mihiv]

Cash в сообщении #556084 писал(а):

Пусть $p_i = 2^{k+i} \cdot m -1$
где $i = 0,1,2, ...$; $k>0$; $m$ - нечетно
Доказать (не пользуясь гипотезой Артина), что для любых $m$ и $k$ в последовательности ${p_0, p_1, p_2, ...}$ встретится составное число.

Число $2m-1$ нечетно и содержит некоторый нечетный простой делитель $q$,возмем $i$ такое,что $k+i-1=l(q-1)$,тогда $2^{k+i-1}=2^{l(q-1)}\equiv 1\pmod q$ и $p_i\equiv 2m-1\equiv 0\pmod q$.

[vorvalm]

Полностью согласен.

[Cash]

Да, все просто оказалось

[vorvalm]

Подведем итог нашей дискуссии.
Для чисел Жермен типа $10x+9$.
Нулевой вычет цепочки $g_0=(g_1-1)/2$.
Наименьший нечетный делитель нулевого вычета $p_x.$
Общий член последовательности чисел Жермен:

$g_n=2^ng_0+2^n-1$

При определенном $n$ будем иметь $2^n\equiv 1 (\mod p_x)$, т.е.

$g_n\equiv g_0 (\mod p_x)$

Следовательно, максимальное число элементов цепочек чисел Жермен равно $n-1$